Question

uma pessoa realizou duas aplicações a juros simples de 6% a.a e 7% a.a, obtendo R$ 345,00 de rendimento ao final de um ano.Sabendo que se as quantias aplicadas fossem invertidas de investimento , o rendimento total seria de R$ 370,00.calcule o valor total aplicado por essa pessoa

Answer 1

Para juros simples:

$J = c \cdot i \cdot t$

onde: J = Valor obtido de juros ao final do período (rendimento).
c = capital inicial da aplicação.
i = taxa de juros ao ano
t = tempo em anos da aplicação.

Como ele faz duas aplicações, vamos chamar $J_1$ e $J_2$, cada uma delas. A soma desses rendimentos dá R$345,00. Assim, sendo $c_1$ o capital investido na primeira aplicação e $c_2$ o capital aplicado na segunda:

$J_1 + J_2 = c_1 \cdot 0,06 \cdot 1 + c_2 \cdot 0,07 \cdot 1 = 0,06 \cdot c_1 + 0,07 \cdot c_2= 345$

Se as quantias se inverterem, então o rendimento total será R$370,00. Ou seja:

$0,07 \cdot c_1 + 0,06 \cdot c_2 = 370$

Então temos um sistema de duas equações e duas variáveis. Podemos resolver isolando $c_1$ em função de $c_2$ e então isolando $c_2$. Usando a primeira equação:

$0,06 \cdot c_1 = 345 - 0,07 \cdot c_2 \\ c_1 = \frac{345 - 0,07 \cdot c_2}{0,06}$

Agora substituindo $c_1$ na segunda equação:

$0,07 \cdot ( \frac{345 - 0,07 \cdot c_2}{0,06} ) + 0,06 \cdot c_2 = 370 \\ \frac{0,07 \cdot 345}{0,06} - \frac{(0,07)^2 \cdot c_2}{0,06} + 0,06 \cdot c_2 = 370\\ 402,5 - \frac{0,0049}{0,06}\cdot c_2 + 0,06 \cdot c_2 = 370 \\ -0,0817 \cdot c_2 + 0,06 \cdot c_2 = 370 - 402,5 \\ -0,0217 \cdot c_2 = -32,5 \\ c_2 = \frac{-32,5}{-0,0217} =R\ 1500,00$

Ou seja, o capital $c_2$ investido foi de R$1500,00. Para encontrar $c_1$, basta substituir $c_2$ na equação:

$c_1 = \frac{345 - 0,07 \cdot c_2}{0,06}$

Então:

$c_1 = \frac{345 - 0,07 \cdot 1500}{0,06} = \frac{345 - 105 }{0,06} = \frac{240}{0,06} = R\ 4000,00$

Então, o capital total investido foi:

$c_{total} = c_1 + c_2 = 4000 + 1500 = R\ 5500$