Question

Uma pessoa quer medir a distância entre o ponto em que se encontra (que chamaremos de A) até uma ilha. Para isso, a partir de A, ela mede o ângulo formado entre o segmento de A até um farol na ilha e o segmento de A até uma estaca na praia onde se encontra, obtendo 30°. Depois, anda 50m em linha reta até a estaca e mede novamente o ângulo formado entre o segmento da estaca e o farol na ilha, e o segmento da estaca e o ponto A. Sendo o segundo ângulo medido igual a 60o, a distância entre o farol na ilha e o ponto A é de?

Answer 1

A primeira conclusão que se deve tirar é que a figura se trata de um triângulo-retangulo: a soma de todos os ângulos internos de um triângulo sempre é igual a 180, e se somarmos os ângulos que ele obteve, teremos 90, restando mais 90 para a soma, o que nos garante que há um ângulo reto neste triângulo.

Em questões assim, sem imagens, trace um rápido esboço da figura: já temos o ponto A. O ponto B será a estaca. Por fim, o ponto C será o farol da ilha. Temos pelo enunciado que a distância AB = 50 m. O ângulo B[A]C = 30° e o ângulo A[B]C = 60°. O ângulo restante, B[C]A = 90°.

Mesmo não tendo desenhado, pode-se saber que lado é a hipotenusa assim: TODA E QUALQUER hipotenusa está oposta ao ângulo reto (90°) - portanto, a hipotenusa não pode conter o ponto C no nosso caso, pois B[C]A é o ângulo reto. Então, a hipotenusa é o lado AB, de 50 metros.

Queremos o tamanho do lado AC (início-ilha), e para isso, associaremos a definição de cosseno (cateto adj. sobre hipotenusa) no ângulo B[A]C:

cos(B[A]C) =  AC/AB

√3/2 = AC/50
AC = 25√3 m
aproximando √3 = 1,7
AC =  42,5 m