Question

uma pessoa de 1,70 de altura em um ponto de uma praia avista o topo de uma montanha, que está no mesmo plano horizontal, sob um ângulo de 45°. Depois de se afastar 58m da montanha avista o topo dela sob um ângulo de 30°. Qual é a altura dessa montanha?

alguém pode ajudar?

Answer 1

Acompanhe pelo desenho anexo.

Note que a representação da situação forma dois triangulos retangulos, um com angulo de 30° e outro com angulo de 45°.

Podemos então escrever as relações de tangente para ambos.

Triangulo com angulo de 30°:

$\rightarrow\;Cateto\;Oposto\;ao\;Angulo\;de\;30^\circ:\;H\\\rightarrow\;Cateto\;Adjacente\;ao\;Angulo\;de\;30^\circ:\;x+58$

              $tg(30^\circ)=\frac{H}{x+58}\\\\\\\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{x+58}\\\\\\x+58=\frac{H}{\frac{\sqrt{3}}{3}}\\\\\\x=\frac{3H}{\sqrt{3}}-58$

Triangulo com angulo de 45°:

$\rightarrow\;Cateto\;Oposto\;ao\;Angulo\;de\;45^\circ:\;H\\\rightarrow\;Cateto\;Adjacente\;ao\;Angulo\;de\;45^\circ:\;x$

              $tg(45^\circ)=\frac{H}{x}\\\\\\1=\frac{H}{x}\\\\\\x=H$

Igualando as duas expressões de "x":

             $\frac{3H}{\sqrt{3}}-58=H\\\\\\\frac{3H}{\sqrt{3}}=H+58\\\\\\3H=\sqrt{3}H+58\sqrt{3}\\\\\\H(3-\sqrt{3})=58\sqrt{3}\\\\\\H=\frac{58\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\\\\Racionalizando:\\\\H=\frac{58\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\\\\\\H=\frac{174\sqrt{3}+174}{3+3}\\\\\\H=\frac{174\sqrt{3}+174}{6}\\\\\\H=29\sqrt{3}+29$

Como não consideramos a altura da pessoa nos calculos, somamos essa altura ao valor final:

H + 1,70 = 29√3 + 30,70

R: Altura ≈ 80,93 metros