Matemática, perguntado por luanatheiss21, 6 meses atrás

Uma pessoa aplicou R$ 15.000,00 em um banco que lhe devolveu R$ 19.001,55 no final de 8
meses. Considerando que a inflação média mensal no período foi de 2,00% a.m., então quais são,
respectivamente, as taxa efetiva (i) e taxa real (r) mensais de juros?

Soluções para a tarefa

Respondido por fqpl059

Caso uma pessoa faça uma aplicação de R$ 15.000,00 em um banco, a taxa efetiva e taxa real mensais de juros serão, respectivamente, 3% e 0,98%.

Primeiramente, temos de calcular a taxa de juros que essa aplicação foi submetida. Consideraremos que os bancos usam o sistema de capitalização composta (a cada acréscimo, os juros são calculados sobre o novo capital):

$\boxed{\mathsf{M = C \cdot (i +1)^{t}}}\\\\\\\mathsf{C - capital}\\\mathsf{ M - montante}\\\mathsf{i - taxa}\\\mathsf{t - tempo}$

*Perceba que % (por cento), significa "dividido por 100". Em todos os nossos cálculos usaremos o valor já dividido por 100;

*A unidade de tempo deve estar nas mesma unidade que a taxa.

Agora, aplicamos a relação dos juros:

$\mathsf{19001{,}55 = 15000 \cdot (i+1)^{8}}\\\mathsf{15000 \cdot (i+1)^{8} = 19001{,}55}\\\\\mathsf{(i+1)^{8} = \dfrac{19001{,}55}{15000}}\\\\\mathsf{(i+1)= \sqrt[8]{1{,}2668}}\\\mathsf{i + 1 = 1{,}03}\\\mathsf{i = 1{,}03 - 1}\\\\\boxed{\overline{\underline{\mathsf{i \approx 0{,}03~ou~3\%~a.m.}}}}$

Temos que essa é a taxa efetiva de juros, ou seja, a taxa acrescida de inflação (um aumento no preço que pode ser causado por vários fatores) e que a unidade do período é a mesma que está presente na taxa (meses).

A taxa real de juros é apenas a porcentagem bruta, sem nenhum acréscimo por inflação. Podemos calcula-la com a seguinte relação:

$\mathsf{i_{real} = \dfrac{(i_{nominal}+1)}{(i_{inflac_{\!\!,}\tilde{a}o}+1)}-1}$

Aplicando uma taxa de inflação de 2% (0,02) teremos:

$\mathsf{i_{real} = \dfrac{\left (0{,}03+1 \right )}{\left (0,02+1 \right )}-1}\\\\\mathsf{i_{real} = \dfrac{1{,}03}{1,02}-1}\\\\\mathsf{i_{real} = \dfrac{1{,}03}{1,02}-1}\\\\\mathsf{i_{real} = 1{,}0098 - 1}\\\mathsf{i_{real} = 0{,}0098}\\\\\boxed{\overline{\underline{\mathsf{i_{real} \approx 0{,}0098~ou~0{,}98\%~a.m.}}}}$