Question

Uma pesquisa sobre a preferencia dos consumidores por três categorias de veículos, A, B e C, de uma industria automobilística relevou que, dos 500 entrevistados
210 preferiam o veiculo A;
230 preferiam o veiculo B;
160 preferiam o veiculo C;
90 preferiam os veículos A e B;
90 preferiam os veículos A e C;
70 preferiam os veículos B e C;
120 não tem preferencia por nenhum das tres categorias.

Pergunta-se
1- Quantos consumidores declararam gostar das 3 categorias?
2- Quantos preferem somente uma das categorias?
3- Quantos declararam preferir pelo menos duas das categorias?

Answer 1

Faça um diagrama de Venn para essa situação:
- trace o conjunto A, dos que preferem A;
- trace o conjunto B, interceptando o conjunto A; 
- trace o conjunto C, interceptando A e B;
- coloque x na intersecção dos 3 conjuntos;
- como n(A∩B) = 90 e como já temos x lá, coloque (90 - x) na parte restante de A∩B: 
- como n(A∩C) = 90 e como já temos x lá, coloque (90 - x) na parte restante de A∩C;
- como n(B∩C) = 70 e como já temos x lá, coloque (70 - x) na parte restante de B∩C;
- como n(A) = 210, descontando tudo o que temos em A, fica
210 - (90 - x) - x - (90 - x) = 210 - 90 + x - x - 90 + x = 30 + x, então coloque (30 + x) na parte restante de A;
- como n(B) = 230, descontando tudo o que temos em B, fica
230 - (90 - x) - x - (70 - x) = 230 - 90 + x - x - 70 + x = 70 + x, então coloque (70 + x) na parte restante de B;
- como n(C) = 160, descontando tudo o que temos em C, fica
160 - (90 - x) - x - (70 - x) = 160 - 90 + x - x - 70 + x = x, então coloque x na parte restante de C;
- coloque 120 fora dos conjuntos (são os que não têm preferência por nenhum dos 3).

Somando tudo o que temos no diagrama e fora dele, deve dar 500, ou seja, o total de entrevistados:
(30 + x) + (70 + x) + x + (90 - x) + (90 - x) + (70 -x) + x + 120 = 500
30 + x + 70 + x + x + 90 - x + 90 - x + 70 - x + x + 120 = 500
470 + x = 500 ⇒ x = 500 - 470 = 30

1) n(A∩B∩C) = x = 30

Portanto, 30 consumidores declararam gostar das 3 categorias.

2) Apenas A: 30 + x = 30 + 30 = 60
    Apenas B:   70 + x = 70 + 30 = 100
    Apenas C :  x = 30
    60 + 100 + 30 = 190

Portanto, 190 preferem somente uma das categorias.

3) Pelo menos duas, ou seja, preferem duas ou as três:
    (90 - x) + (90 - x) + (70 - x) + x =(90 - 30) + (90 - 30) + (70 - 30) + 30 =
= 60 + 60 + 40 + 30 = 190

Portanto, 190 declararam preferir pelo menos duas das categorias.