Question

Uma partícula se move em uma linha reta com a função velocidade v(t) = sen(ωt) cos2(ωt). Encontre sua função de posição s = f(t) se f(0) = 0.

Answer 1

A velocidade é a taxa de variação da posição da partícula em relação ao tempo, ou seja

$v(t)=\dfrac{d}{dt}f(t)~\longrightarrow~f(t)=\displaystyle\int v(t)dt$

Então:

$f(t)=\displaystyle\int sen(\omega t)cos^{2}(\omega t)\,dt$

Fazendo $u=cos(\omega t)~\longrightarrow~du=-\omega sen(\omega t)~\rightarrow~sen(\omega t)=-\frac{1}{\omega}du$

Daí,

$\displaystyle\int sen(\omega t)cos^{2}(\omega t)\,dt=\int cos^{2}(\omega t)sen(\omega t)\,dt\\\\\\\displaystyle\int sen(\omega t)cos^{2}(\omega t)\,dt=\int u^{2}\bigg(-\dfrac{1}{\omega}\bigg)du\\\\\\\displaystyle\int sen(\omega t)cos^{2}(\omega t)\,dt=-\dfrac{1}{\omega}\int u^{2}\,du\\\\\\\displaystyle\int sen(\omega t)cos^{2}(\omega t)\,dt=-\dfrac{1}{\omega}\cdot\dfrac{u^{3}}{3}+C\\\\\\\displaystyle\int sen(\omega t)cos^{2}(\omega t)\,dt=-\dfrac{1}{3\omega}cos^{3}(\omega t)+C$

Então, temos a seguinte expressão para $f$:

$\boxed{\boxed{f(t)=-\dfrac{1}{3\omega}cos^{3}(\omega t)+C}}$

Como $f(0)=0$:

$f(0)=0\\\\\\-\dfrac{1}{3\omega}cos^{3}(\omega\cdot0)+C=0\\\\\\C=\dfrac{1}{3\omega}cos^{3}(0)\\\\\\C=\dfrac{1}{3\omega}\cdot1^{3}\\\\\\C=\dfrac{1}{3\omega}$

Logo, a expressão final de $f$ é

$\boxed{\boxed{f(t)=-\dfrac{1}{3\omega}cos^{3}(\omega t)+\dfrac{1}{3\omega}}}$