Question

Uma partícula possui um vetor posição dado por r(t) = (10 – 60.t + 5.t³)î + (30.t)j Onde r está em metros e t em segundos. Calcule: a) A velocidade média durante o intervalo de tempo de t = 0,0 s a t = 5,0 s; b) A velocidade instantânea em t = 4,0 s; c) A posição da partícula quando a velocidade instantânea em î for nula; d) A posição e a velocidade quando a aceleração instantânea for nula; e) Construa o gráfico da aceleração x tempo e explique o tipo de movimento em função da aceleração instantânea.

Answer 1

Resposta:

O movimento da partícula é uniformemente acelerado. Veja os detalhes na explicação abaixo.

Explicação:

A posição da partícula é dada por:

$\vec r(t) = (10-60t + 5t^3) \vec i + (30t)\vec j$                     (i)

com t em segundos e r em metros.

a) A velocidade média entre t=0 e t=5 é igual a:

$\vec v_m = (\vec r(5) - \vec r(0)) / (5-0)$

Substituindo na equação (i):

$\vec v_m = (335\vec i + 150\vec j) / (5) = 67\vec i + 30\vec j$

b) A velocidade instantânea é data pela primeira derivada da posição:

$\vec v(t) = d\vec r(t)/dt = (-60+15t^2)\vec i + 30\vec j$            (ii)

Substituindo t = 4:

$\vec v(4) = (-60+15*4^2)\vec i + 30\vec j = 180\vec i + 30\vec j$

c) Se a velocidade instantânea em $\vec i$ é zero, usamos a equação (ii):

$-60 + 15t^2 = 0 = > t = 2s$

Então a posição será:

$\vec r(2) = (10-60*2 + 5*8) \vec i + (60)\vec j = -70\vec i + 50\vec j$

d) A aceleração instantânea é a derivada primeira da velocidade:

$\vec a(t) = d\vec v(t)/dt = (30t)\vec i$

Então a aceleração instantânea somente é nula em t=0.

Em t=0 a posição é:

$\vec r(0) = 10\vec i$

e) A aceleração é vetorial, no entanto vamos  traçar o gráfico do módulo da aceleração versus o tempo. O módulo da aceleração é:

$|\vec a(t)| = 30t$

O gráfico é a linha reta na imagem anexa, onde a aceleração tem um crescimento linear com o tempo.