Question

Uma partícula move-se ao longo do eixo x e a sua posição varia de acordo com a expressão: x = - 4t + 5 t2 (unidade no S.I.). A velocidade média da partícula entre os instantes t= 0 s e t =2 s e t=1 s e t = 5 s vai ser,

Answer 1

S = 5t² - 4t

Sabendo que a variação do espaço  é a velocidade , basta derivarmos a equação do espaço(posição) que saberemos a da velocidade

S' = v
v=10.t - 4

(A) a Velocidade média no instante de 0 s a 2s é :

v= 10.0-4
v= - 4 m/s 

v=10.2-4
v= 16 m/s 

Vm =  vf-vi / 2
Vm 16 -(-4) / 2 
Vm = 20 / 2 
Vm = 10 m/s ~~

(B) No instante de 1s a 4 s

V=10.t-4
V=10.1-4
Vi = 6 m/s

Vf=10.5 - 4
Vf=46 m/s

Vm =Vf-Vi/5-1
Vm=46-6/4
Vm=10 m/s~~

Answer 2

Sabemos que:
$\boxed{\bar{v}_{t_0\to t}=\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}$ velocidade média é igual variação do espaço sobre a variação do tempo.
De modo que se tomamos o limite de delta t tendendo a zero:
$\boxed{\lim_{\Delta t\to0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}=v(t)}$
teremos a velocidade instantânea.

Velocidade média de t = 0s a t = 2s
$\displaystyle \bar{v}_{0\to2}=\frac{s(2)-s(0)}{2s-0s}=\frac{(5\cdot2^2-4\cdot2)-(5\cdot0^2+4\cdot0)~m}{2s}=\frac{5\cdot4-8~m}{2s}\\\bar{v}_{0\to2}=\frac{20-8}{2}m/s=\frac{12}{2}m/s=\boxed{6m/s}$


Velocidade média de t = 1s a t = 5s
$\displaystyle \bar{v}_{1\to5}=\frac{s(5)-s(1)}{5s-1s}=\frac{5\cdot5^2-4\cdot5-5\cdot1^2+4\cdot1~m}{4s}=\frac{125-20-5+4~m}{4s}\\\\\bar{v}_{1\to5}=\frac{104}{4}m/s=\boxed{26m/s}$

Pode ser calculado também com a integral do valor médio de uma função (que é a mesma coisa):
$\displaystyle \bar{v}=\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}v(t)\,dt$
como disse lá em cima:
$\displaystyle v(t)=\frac{ds}{dt}$
Então:
$\displaystyle \bar{v}_{a\to b}=\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}\frac{ds}{dt}dt=\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}ds=\boxed{\frac{1}{b-a}s(b)-s(a)}$

veja:
$\displaystyle \bar{v}_{1\to5}=\frac{1}{5-1}\int\limits_{1}^{5}\frac{ds}{dt}dt=\frac{1}{5-1}\int\limits_{1}^{5}ds=\frac{1}{4}\cdot(s(5)-s(1))=\frac{s(5)-s(1)}{4}=\\\frac{105-1}{4}=\frac{104m}{4s}=\boxed{26m/s}$