Uma partícula está se movendo em um círculo e sua posição é dada em coordenadas polares como x = Rcosθ, ey = Rsinθ, onde R é o raio do círculo e θ é em radianos. A partir dessas equações, deduza a equação para a aceleração centrípeta.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Sem perda de generalidade, precisamos apenas olhar a equação para a posição x, uma vez que sabemos que a aceleração centrípeta aponta para o centro do círculo. Assim, quando θ = 0, a segunda derivada de x com respeito ao tempo deve ser a aceleração centrípeta.
A primeira derivada de x em relação ao tempo t é:
dx / dt = -Rsinθ (dθ / dt)
A segunda derivada de x em relação ao tempo t é:
d2x / dt2 = -Rcosθ (dθ / dt) 2-Rsinθ (d2θ / dt2)
Em ambas as equações acima, a regra da cadeia do Cálculo é usada e, por suposição, θ é uma função do tempo. Portanto, θ pode ser diferenciado em relação ao tempo.
Agora, avalie a segunda derivada em θ = 0.
Nós temos:
d2x / dt2 = -R (dθ / dt) 2
O termo dθ / dt é normalmente chamado de velocidade angular, que é a taxa de variação do ângulo θ. Possui unidades de radianos / segundo.
Por conveniência, podemos definir w ≡ dθ / dt.
Portanto,
d2x / dt2 = -Rw2
Esta é a forma bem conhecida da equação de aceleração centrípeta.