Question

Uma partícula é lançada com velocidade inicial vo = 50 m/s a um ângulo teta = arctan (3/4)( com a horizontal.
Sabendo que a gravidade local é de g = 10 m/s2, calcule:
a. O tempo de voo da partícula.
b. A altura máxima que ela atinge.
c. O alcance horizontal que ela atinge.​

Answer 1

⇒  Aplicando nossos conhecimentos sobre Cinemática - Movimento de um Projétil, concluímos que o a) tempo total de voo da partícula é de 6 s; b) A altura máxima é de 45 m; E c) o alcance horizontal é de 240 m.

☞   O movimento de um projétil é a combinação de um MRU na horizontal e um movimento acelerado na vertical com  $a_y=-g$  . Conforme a figura em anexo, tratamos a velocidade em termos de seus componentes, a componente x da velocidade é  $v_{0x}=v_0\cos\theta$  . E a componente y é  $v_{0y}=v_0\sin\theta$

☞   Na horizontal, por ser um MRU, a posição x é dada por

$x=v_{0x}t=v_{0}\cos\theta t$

☞   E na direção y, sua posição é dada pela equação

$y=v_{0y}t+\dfrac{1}{2}a_yt^2=v_{0}\sin\theta t-\dfrac{gt^2}{2}$

➜   Precisamos dos valores de  $\sin\theta$  e  $\cos\theta$ . Para tanto, desenhamos um triângulo retângulo, em que um dos ângulos é  $\theta$  . Como a tangente desse ângulo, i.e., cateto oposto sobre o adjacente, vale 3/4, segue que a hipotenusa do triângulo auxiliar vale 5, pelo Teorema de Pitágoras, conforme figura em anexo.

a)   Quando a partícula atinge o ponto mais alto da trajetória, sua velocidade final é  $v_y=0$ , pois ela para momentaneamente. Pela função horária da velocidade para a direção y:

$v_y=v_{0y}-gt_1 \Rightarrow t_1=\dfrac{v_0\sin\theta}{g}=\dfrac{50\cdot \dfrac{3}{5}}{10}=3\ s$

Como a partícula cai na mesma altura de que foi lançada, o tempo de descida é o mesmo de subida, portanto, o tempo total de voo é

$t_{2} =2t_{1} =2\cdot 3=6\ s$

b)   A altura máxima atingida será a posição y para o instante em que a partícula atinge o ápice da trajetória. Logo

$\begin{array}{l} y_{max} =h=v_{0}\sin \theta t_{1} -\dfrac{gt_{1}^{2}}{2} \Longrightarrow \\ \\ \Longrightarrow h=50\cdotp \dfrac{3}{5} \cdotp 3-\dfrac{10\cdotp 3^{2}}{2} =45\ m \end{array}$

c)   Para o alcance máximo horizontal, inserimos o tempo de voo  $t_2$  na equação da posição x da partícula. Assim,

$D=v_{0}\cos \theta t_2\Longrightarrow 50\cdotp \dfrac{4}{5} \cdotp 6=240\ m$

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