Question

Uma particula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x=x(t), t>0. Determine a função x(t), sabendo que: d²x/dt²= e^-t, v(0)=0, onde v é a função velocidade, e x(0)=1.

Answer 1

d²x/dt² = e^(-t)

d/dt*dx/dt = e^(-t)

dx/dt =  e^(-t)

dx = e^(-t)dt

∫dx = ∫e^(-t)dt

x = ∫e^(u)du

u = e^(-t)


du = -e^(-t)

x = -∫e^udu = -e^u + c[/tex]

x = -e^(-t) + c

A funcao que acabamos de achar seria a derivada "1",  ou seja, a funçao velocidade. mas agora temos que integrar a derivado "1" para obter a funçao posição.


x = ∫$-e^-^t+c$ dt

x = -∫e^(-t)dt + ∫Cdt

X = -(-1)*e^(-t) + Ct + C

x = e^(-t) + Ct + 


V(0) = 0
x = 0 e t = 0 na derivada 1

x = -e^(-t) + c

0 = -e^(0) + c
0 = -1 + c
c = 1

V(t) = -e^(-t) + 1

Vamos para a funçao do deslocamento:

S = e^(-t) + Ct  + C   Ponto = x(0) = 1

1 = e^(0) + c*0 + C
1 = 1 + 0 +c
C = 0

S = e^(-t)

Answer 2

A função x(t) será dada por e^-t + 1.

Se x(t) representa a posição da partícula, temos que d²x/dt² representa a aceleração dessa partícula, então, dos dados do enunciado, temos que:

d²x/dt² = e^(-t)

v(0) = 0

x(0) = 1

Para encontrar v(t), precisamos integrar d²x/dt², ou seja:

v(t) = ∫e^-t dt

v(t) = -e^-t + C

A constante de integração será dada por v(0), logo:

v(t) = -e^-t + 0

v(t) = -e^-t

Para encontrar x(t), integramos v(t):

x(t) = ∫-e^-t dt

x(t) = e^-t + C

Para encontrar o valor da constante de integração, utilizamos o valor de x(0):

x(t) = e^-t + 1

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