Question

Uma partícula de 0,34 kg se move no plano xy de acordo com as equações x

Answer 1

a) O módulo da força resultante da partícula no instante de t=0,700s é dado pela segunda lei de de Newton e tem o valor de F=8,37N.

b) O ângulo da força resultante em relação ao eixo x positivo é de -133°, ou seja, está no terceiro quadrante.

c) O ângulo do movimento da partícula, ou seja, de sua velocidade em relação ao eixo x positivo é de -124°, portanto, está no terceiro quadrante.

Movimento de uma partícula e segunda lei de Newton

Uma lei de movimento, na física, é dada por uma equação que governa determinado movimento. Ex.: Um movimento uniforme será governado pela equação x=x0+v.t. Com ela, pode-se saber onde determinado corpo estará com base na sua velocidade e o tempo que percorreu um caminho.

Para a questão dada, temos:

$x(t) = - 15,00 +2,00t - 4,00t^3\\\\y(t) = 25,00 +7,00t - 9,00t^2$

a) Módulo da força para t=0,700s

A força é dada pela segunda lei de Newton:

$\boxed{ \vec F=m. \vec a}$

Em que o vetor aceleração é dado por:

$\boxed{\vec a=(a_x) \vec i + (a_y) \vec j}$

Portanto, deve-se encontrar a aceleração para cada coordenada x e y. Para isso, deve-se saber que a derivada de segunda ordem da posição da partícula com relação ao tempo é igual a aceleração.

Portanto:

$\frac{dx(t)}{dt}=v_x(t)=2,00-12,00t^2\\\\\boxed{\frac{dv(t)}{dt}=a_x(t)=-24,00t}$

Para t=0,700s:

$a(0,700s)=-24,00.0,700=-16,8m/s^2$

$\frac{dy(t)}{dt}=v_y(t)=7,00-18,00t\\\\\boxed{\frac{dv_y(t)}{dt}=a_y(t)=-18,00m/s}$

Portanto, aplicando na segunda lei de Newton:

$\vec F=m.[(-24,00t) \vec i+(-18,00m/s) \vec j]$

O módulo de um vetor é dado por:

$\boxed{v=\sqrt{x^2+y^2} }$

Então, o módulo de F é:

$F=\sqrt{(m.a_x)^2+(m.a_y)^2 }\\\\F=\sqrt{(0,34.(-16,8))^2+(0,34.18,00)^2} \\\\F=8,37N$

b) O ângulo ao qual a força resultante está submetida:

O ângulo é calculado da seguinte maneira:

$tg(\theta)=\frac{F_y}{F_x}\\\\tg(\theta)=\frac{-6,12N}{-5,71N}\\\\tg(\theta)=1,07\\\\\theta=tg^{-1}(1,07)=46,9\° \approx47\°$

Porém, pelos sinais das componentes x e y da força, pode-se notar que o ângulo é pertencente ao 3° quadrante, portanto:

47°-180°=-133°

Que é o ângulo da força resultante.

c) O ângulo da direção do movimento é dado por:

$tg( \alpha)=\frac{v_y}{v_x}=\frac{-5,6m/s}{-3,8m/s}\\\\\alpha=55,2\°$

Porém, os sinais das componentes indicam que o ângulo está no terceiro quadrante, então:

55,2-180=-124°

Portanto, a direção está a -124° em relação ao eixo x positivo.

Segue a questão completa

"Uma partícula de massa 0,340 kg se move no plano xy de acordo com as equações

x(t) = - 15,00 +2,00t - 4,00t³

e y(t) = 25,00 +7,00t - 9,00t²,

com x e y em metros e t e segundos.

No instante t = 0,700 s, quais são:
a) o módulo
b) o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) da força resultante a que está submetida a partícula
c) qual é o ângulo da direção do movimento da partícula?"

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