Question

Uma parábola intercepta o eixo x nos pontos (-4,0) e (6,0). Se o ponto (0,8) está na parábola, qual é a equação da parábola?

Answer 1

A equação da parábola é:

$\large \sf f(x) = -\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{2x}{3}+8$

Preâmbulo

• Considere a equação do segundo grau f(x) = (x + a)⋅(x + b) e determine suas raízes (ou seus zeros).

(x + a)⋅(x + b) = 0

• Para que o produto de dois fatores resulte zero basta que um de seus fatores seja zero.

x + a = 0 ⟹ x₁ = −a

ou

x + b = 0 ⟹ x₂ = −b

S = {−a, −b}

• Observe portanto que as raízes de uma equação do tipo (x + a)⋅(x + b) = 0 são os opostos dos termos independentes de cada fator.

Resolução

• Se uma intercepta o eixo x nos pontos (−4, 0) e (6, 0), então os zeros (ou raízes) de sua equação são −4 e 6, e portanto podemos obter uma equação que satisfaz essa condição.

F(x) = (x + 4)⋅(x − 6)

• O enunciado impõe que a parábola contenha o ponto (0, 8), ou seja, para x = 0, y = 8.
• Impondo y = 8 significa que o valor da função deve ser 8 quando x = 0. Observe na função acima que para x = 0, f(0) = −24
• Para garantir que f(0) seja igual a 8, multiplique a função por uma constante k e determine o valor de k.

F(x) = k · (x + 4)⋅(x − 6) ①

• Substitua x por 0 e f(x) por 8.

8  = k · (0 + 4)⋅(0 − 6)

8  = k · (4)⋅(− 6)

8  = k · (−24) ⟹ Divida ambos os membros por −24.

$\large \sf k = -\dfrac{1}{3}$

• Substitua o valor de k na equação ①.

$\large \text { \sf f(x) = -\dfrac{1}{3} \cdot (x + 4) \cdot (x - 6) \quad \Longrightarrow \quad Desenvolva essa equac{\!\!,}\~ao.}$

$\large \sf f(x) = -\dfrac{1}{3} \cdot (x^2-6x+4x-24)$

$\large \sf f(x) = -\dfrac{1}{3} \cdot (x^2-2x-24)$

$\large \sf f(x) = -\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{2x}{3}+8$

$\large \text {A equac{\!\!,}\~ao da par\'abola \'e \sf f(x) = -\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{2x}{3}+8. }$

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