Question

Uma moeda é lançada cinco vezes sucessivamente. Qual é a probabilidade de sair cara mais de uma vez?​

Answer 1

Na situação descrita, teremos 5 eventos independentes (lançamentos) e cada um com duas possibilidades de resultado: cara ou coroa.

Dessa forma, podemos utilizar a distribuição binomial para nos auxiliar a calcular o que nos foi pedido.

$\sf P~=~C_{n,k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\\\\\\Onde:~~\left\{\begin{array}{ccl}\sf n&:&\sf Total~de~eventos~(lancamentos)\\\sf k&:&\sf Total~de~sucessos~(cara)\\\sf p&:&\sf Probabilidade~de~sucesso~(prob.~de~sair~"cara")\end{array}\right$

Admitindo, claro, que a moeda tenha igual probabilidade de sair "cara" ou "coroa", isto é, 50% (0,5), vamos destacar todos cenários que atendem os requisitos impostos, sair cara mais de uma vez:

--> 2 caras e 3 coroas: P(2 caras)

--> 3 caras e 2 coroas: P(3 caras)

--> 4 caras e 1 coroa: P(4 caras)

--> 5 caras e 0 coroas: P(5 caras)

Assim, para calcular a probabilidade P(A) de sair mais de uma cara, precisamos somar as probabilidades de ocorrência de cada um dos cenários descritos acima.

obs.: Há uma alternativa que, neste exercício, proporciona uma resolução mais rápida e será discutida mais à frente.

$\sf P(2~caras)~=~C_{5,2}\cdot (0,5)^2\cdot (0,5)^3\\\\\\P(2~caras)~=~\dfrac{5!}{2!\cdot (5-2)!}\cdot (0,5)^5\\\\\\P(2~caras)~=~\dfrac{5!}{2\cdot 1\cdot 3!}\cdot \dfrac{1}{32}\\\\\\P(2~caras)~=~\dfrac{5\cdot 4\cdot 3!}{2\cdot 3!}\cdot \dfrac{1}{32}\\\\\\P(2~caras)~=~\dfrac{5\cdot 4}{2}\cdot \dfrac{1}{32}\\\\\\\boxed{\sf P(2~caras)~=~\dfrac{10}{32}}$

$\sf P(3~caras)~=~C_{5,3}\cdot (0,5)^3\cdot (0,5)^2\\\\\\P(3~caras)~=~\dfrac{5!}{3!\cdot (5-3)!}\cdot (0,5)^5\\\\\\P(3~caras)~=~\dfrac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 2!}\cdot \dfrac{1}{32}\\\\\\P(3~caras)~=~\dfrac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 2}\cdot \dfrac{1}{32}\\\\\\P(3~caras)~=~\dfrac{5\cdot 4}{2}\cdot \dfrac{1}{32}\\\\\\\boxed{\sf P(3~caras)~=~\dfrac{10}{32}}$

$\sf P(4~caras)~=~C_{5,4}\cdot (0,5)^4\cdot (0,5)^1\\\\\\P(4~caras)~=~\dfrac{5!}{4!\cdot (5-4)!}\cdot (0,5)^5\\\\\\P(4~caras)~=~\dfrac{5\cdot 4!}{4!\cdot 1!}\cdot \dfrac{1}{32}\\\\\\P(4~caras)~=~\dfrac{5}{1}\cdot \dfrac{1}{32}\\\\\\\boxed{\sf P(4~caras)~=~\dfrac{5}{32}}$

$\sf P(5~caras)~=~C_{5,5}\cdot (0,5)^5\cdot (0,5)^0\\\\\\P(5~caras)~=~\dfrac{5!}{5!\cdot (5-5)!}\cdot (0,5)^5\\\\\\P(5~caras)~=~\dfrac{5!}{5!\cdot 0!}\cdot \dfrac{1}{32}\\\\\\P(5~caras)~=~\dfrac{5}{5}\cdot \dfrac{1}{32}\\\\\\\boxed{\sf P(5~caras)~=~\dfrac{1}{32}}$

Somando, temos o a probabilidade de ocorrer mais de uma cara:

$\sf P(A)~=~P(2~caras)~+~P(3~caras)~+~P(4~caras)~+~P(5~caras)\\\\\\P(A)~=~\dfrac{10}{32}~+~\dfrac{10}{32}~+~\dfrac{5}{32}~+~\dfrac{1}{32}\\\\\\P(A)~=~\dfrac{26}{32}\\\\\\\boxed{\sf P(A)~=~\dfrac{13}{16}}~~ ou~~ \boxed{\sf P(A)~=~81,25\%}$

Como observando antes, há uma alternativa semelhante que necessita menos cálculos. Sabemos que a soma da probabilidade de ocorrência de todos cenários possíveis deve ser igual a 1 ou, percentualmente, 100%, ou seja:

$\boxed{\sf P(0~caras)~+~P(1~cara)~+~P(2~caras)~+~P(3~caras)~+~P(4~caras)~+~P(5~caras)~=~1}$

Rearranjando a equação, temos:

$\sf P(2~caras)~+~P(3~caras)~+~P(4~caras)~+~P(5~caras)~=~1~-~P(0~caras)~-~P(1~cara)$

$\sf P(A)~=~1~-~P(0~caras)~-~P(1~cara)$

Calculando P(0 caras) e P(1 cara):

$\sf P(0~caras)~=~C_{5,0}\cdot (0,5)^0\cdot (0,5)^5\\\\\\P(0~caras)~=~\dfrac{5!}{0!\cdot (5-0)!}\cdot (0,5)^5\\\\\\P(0~caras)~=~\dfrac{5!}{1\cdot 5!}\cdot \dfrac{1}{32}\\\\\\P(0~caras)~=~\dfrac{1}{1}\cdot \dfrac{1}{32}\\\\\\\boxed{\sf P(0~caras)~=~\dfrac{1}{32}}$

$\sf P(1~cara)~=~C_{5,1}\cdot (0,5)^1\cdot (0,5)^4\\\\\\P(1~cara)~=~\dfrac{5!}{1!\cdot (5-1)!}\cdot (0,5)^5\\\\\\P(1~cara)~=~\dfrac{5!}{1\cdot 4!}\cdot \dfrac{1}{32}\\\\\\P(1~cara)~=~\dfrac{5\cdot 4!}{4!}\cdot \dfrac{1}{32}\\\\\\P(1~cara)~=~5\cdot \dfrac{1}{32}\\\\\\\boxed{\sf P(1~cara)~=~\dfrac{5}{32}}$

Calculando P(A):

$\sf P(A)~=~1~-~\dfrac{1}{32}~-~\dfrac{5}{32}\\\\\\P(A)~=~\dfrac{32\cdot 1~-~1\cdot 1~-~1\cdot 5}{32}\\\\\\P(A)~=~\dfrac{32~-~1~-~5}{32}\\\\\\P(A)~=~\dfrac{26}{32}\\\\\\\boxed{\sf P(A)~=~\dfrac{13}{16}}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$