Uma mesa circular tem seis lugares com cadeiras de cores diferentes. De quantos modos três casais de namorados podem ocupar esses seis lugares de forma que os três rapazes fiquem juntos e as três moças também,mas nenhum rapaz fique junto de sua namorada?
(A)36
(B)54
(C)72
(D)108
(E)144
Soluções para a tarefa
Alternativa D: existem 108 modos diferentes dos três casais sentarem dessa maneira.
Inicialmente, vamos alocar qualquer uma das mulheres em uma posição. Então, na primeira opção de lugar, temos três alternativas. Desse modo, os dois lugares ao lado desses serão as outras duas mulheres, onde temos duas opções para um desses lugares e apenas uma opção para o outro.
De maneira análoga, vamos analisar o outro lado da mesa, onde temos três pessoas do sexo masculino. De um dos lados dessa pessoa temos duas opções e, no último, apenas uma. Desse modo, o número total de possibilidades será:
Agora, vamos multiplicar as probabilidades entre homens e mulheres e ainda multiplicar o valor total por seis, pois temos um total de seis posições.
Contudo, veja que, considerando fixo o lado de um dos sexos, temos seis possibilidades para o outro. Em três dessas vamos ter casais sentando lado a lado (o casal de uma extremidade, o casal de outra extremidade ou ambos os casais). Ou seja, só podemos aceitar metade do número total de possibilidades calculado anteriormente. Portanto, o número que satisfaz as condições será:
Temos uma questão de Análise Combinatória, onde temos que arranjar pessoas em ordens. Essa questão pode seguir dois métodos, sendo uma delas mais intuitiva e “prática”. A seguir demonstro os dois.
Método 01
Para resolver essa questão de maneira mais fácil é importante a separação da resolução em partes: primeiro pensando nas posições dos rapazes, depois das moças e por fim as variações. Por se tratar da organização de pessoas em posições distintas, em todos os casos estaremos lidando com arranjos.
Regras gerais que devemos lembrar:
Os 3 rapazes devem ficar juntos;
As 3 moças devem ficar juntas;
Não pode se formar casais
- Posições dos rapazes
Tendo em vista a regra mencionada acima, os rapazes podem se organizar em 3 posições diferentes, com a possibilidade de trocarem de lugar entre eles. Por exemplo, o primeiro rapaz pode e no lugar do segundo e esse ir no lugar do terceiro. Esse tipo de organização, em que 3 pessoas vão preencher 3 cadeiras vagas, pode ser expresso como o seguinte arranjo:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
Apresentando de outra forma, pode-se pensar que existe a possibilidade dos rapazes se organizarem de 6 maneiras diferentes:
Pos. 1: Rapaz 1, Rapaz 2, Rapaz 3
Pos. 2: Rapaz 1, Rapaz 3, Rapaz 2
Pos. 3: Rapaz 2, Rapaz 1, Rapaz 3
Pos. 4: Rapaz 2, Rapaz 3, Rapaz 1
Pos. 5: Rapaz 3, Rapaz 2, Rapaz 1
Pos. 6: Rapaz 3, Rapaz 1, Rapaz 2
Vamos para o próximo passo.
- Posições das moças
Considerando que as moças não podem ficar do lado dos seus respectivos namorados, depois de organizar os rapazes, o próximo passo é garantir as separações. A única forma de garantir que os casais não se formem é controlando as variáveis, escolhendo qual moça fica perto de qual rapaz – e isso equivale a fixar uma moça em cada borda, que pode ser expresso como:
1 × 2 × 1 = 2
Nesse caso, como o controle das posições das moças depende das posições dos rapazes, naturalmente as possibilidades de cada caso estarão juntas – o que pode ser expresso como:
(1 × 2 × 1) × 3! = 2 × 6 = 12
Apresentando de outra forma, pode-se pensar que existe a possibilidade das moças se organizarem em relação aos rapazes de 12 maneiras diferentes:
1° e 2°:
3° e 4°:
5° e 6°:
7° e 8°:
9° e 10°:
11° e 12°:
- Variações das posições
Agora que temos as possibilidades de moças e rapazes em seus respectivos lugares, devemos considerar que eles podem girar ao redor da mesa, com os trios indo para direta ou esquerda (como exemplifica o anexo).
Considerando que as pessoas estivessem fixas em uma organização, e pudessem rodar, deve-se pensar que existem 6 possibilidades de cadeiras para cada uma das pessoas (sejam moças ou rapazes). Assim, podemos representar todo o cálculo da seguinte maneira:
(Possibilidades para rapazes + Possibilidades para moças) × Variações =
(6 + 12) × 6 =
(18) × 6 =
108
Com isso, conclui-se que a resposta final está na alternativa D) 108.
Método 02
Considerando os requisitos para organização das pessoas, pode-se usar alguns princípios de PFC para chegar no resultado final.
As possibilidades disponíveis para os rapazes são iguais ao arranjo de sua quantidade (3!) + as possibilidades de movimentação que são iguais a quantidade de cadeiras (6), que segue um padrão semelhante a imagem em anexo. Considerando isso, temos as possibilidades dos rapazes:
3! × 6 = 6 × 6 = 36
As possibilidades para moças, por sua vez, dependem das posições dos rapazes, exigindo que duas posições tenham moças fixas. Dessa forma, as possibilidades vão ser 1 × 2 × 1, completando-se com as possibilidades dos rapazes. Teremos:
1 × 2 × 1 × 36 =
2 × 36 =
72
Somando as duas possibilidades:
36 + 72 = 108
Com isso, conclui-se que a resposta final está na alternativa D) 108.
Questão da Prova da OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas).
