Question

Uma matriz real A é ortogonal se $AA ^{t} = I$ , onde $I$ indica a matriz identidade e $A^t$ indica a transposta de A. Se $A = \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} &x\\y&z\end{array}\right]$ é ortogonal, qual o valor de $x^{2} + Y^{2}$ ?

Answer 1

Temos matriz A:
$A=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&x\\y&z\end{array}\right]\ \ \ \ \ A^t=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&y\\x&z\end{array}\right]\\\\\\ A.A^t=\left[\begin{array}{cc}(\frac{1}{4}+x^2)&(\frac{y}{2}+xz)\\(\frac{y}{2}+xz)&(y^2+z^2)\end{array}\right]\\\\\\ A.A^t=I,\ ent\~ao:\\\\ \left[\begin{array}{cc}(\frac{1}{4}+x^2)&(\frac{y}{2}+xz)\\(\frac{y}{2}+xz)&(y^2+z^2)\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Agora montamos as funções:
$\frac{1}{4}+x^2=1\\\\ \frac{y}{2}+xz=0\\\\ y^2+z^2=1$

$Isolando\ x^2\ na\ primeira\ equa\c{c}\~ao:\\\\ \frac{1}{4}+x^2=1\\\\ x^2=1-\frac{1}{4}\\\\ x^2=\frac{3}{4}$

$Isolando\ z\ na\ segunda\ equa\c{c}\~ao:\\\\ \frac{y}{2}+xz=0\\\\ xz=-\frac{y}{2}\\\\ z=-\frac{y}{2x}$

$Trocano\ o\ valor\ de\ z\ na\ terceira\ equa\c{c}\~ao:\\\\ y^2+z^2=1\\\\ y^2+(z\times z)=1\\\\ y^2+(-\frac{y}{2x}\times -\frac{y}{2x})=1\\\\ y^2+\frac{y^2}{4x^2}=1\\\\ Agora\ trocar\ o\ valor\ de\ x^2:\\\\ y^2+\frac{y^2}{4(\frac{3}{4})}=1\\\\ y^2+\frac{y^2}{3}=1\\\\ \frac{3y^2+y^2=3}{3}\\\\ 3y^2+y^2=3\\\\ 4y^2=3\\\\ y^2=\frac{3}{4}$

Somando x² com y²:
$(x^2+y^2)=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\\\\ \boxed{\boxed{(x^2+y^2)=\frac{3}{2}}}$

Bons estudos!

Answer 2

O valor de x² + y² é 3/2.

Matrizes

Para responder essa questão, devemos considerar que:

• as matrizes são dadas na ordem mxn (m linhas e n colunas);

• ao multiplicar matrizes, deve-se calcular a soma dos produtos dos elementos da linha da primeira matriz com os da coluna da segunda matriz.

Para resolver a questão, precisamos multiplicar as matrizes A e At para encontrar o valor de x² + y² sabendo que o produto resulta na matriz identidade.

$A\cdot A^t=I\\\\\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&x\\y&z\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&y\\x&z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\\\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{4}+x^2&\frac{y}{2}+xz\\\frac{y}{2}+xz&y^2+z^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Podemos escrever as três equações:

1/4 + x² = 1

y/2 + xz = 0

y² + z² = 1

Da primeira equação:

x² = 1 - 1/4

x² = 3/4

Da segunda equação:

y/2 = -xz

z = -y/2x

Da terceira equação:

y² + (-y/2x)² = 1

y² + y²/4x² = 1

y² + y²/3 = 1

y² = 1/(4/3)

y² = 3/4

Temos então que x² + y² = 6/4 = 3/2.

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