Question

Uma matriz quadrada é simetria se, e somente se, $A^{t}$=A.
Se a matriz $A^{ \left[\begin{array}{ccc}2& x^{2} &x\\1&0&5-y\\-1&y-3&1\end{array}\right] }$ é simétrica então determine o valor de $\frac{x+y}{2}$

Answer 1

Uma matriz quadrada $\mathbf{A}=\left(a_{ij} \right )_{3\times 3}$ é simétrica, se e somente se

$\mathbf{A}=\mathbf{A}^{t}$

ou seja, para todo elemento $a_{ij}$ da matriz $\mathbf{A}$, deve-se ter

$a_{ij}=a_{ji}$

Isto significa que em uma matriz simétrica, os elementos simétricos em relação à diagonal principal $a_{ij}$ e $a_{ji}$ são iguais.


Então, basta que tenhamos

$\bullet\;\;a_{12}=a_{21}\\ \\ x^{2}=1\\ \\ x=\pm 1\\ \\ x=1\;\;\text{ ou }\;\;x=-1\\ \\ \\ \bullet\;\;a_{13}=a_{31}\\ \\ x=-1\\ \\ \\ \bullet\;\;a_{23}=a_{32}\\ \\ 5-y=y-3\\ \\ -y-y=-3-5\\ \\ -2y=-8\\ \\ y=\dfrac{-8}{-2}\\ \\ y=4$


Logo, encontramos

$x=-1,\;\;y=4$

e portanto

$\dfrac{x+y}{2}\\ \\ =\dfrac{-1+4}{2}\\ \\ =\dfrac{3}{2}$