Question

Uma máquina de refrigerante está regulada de modo a despejar uma média de 200 mililitros de refrigerante por copo. Se a quantidade de bebida é normalmente distribuída com desvio padrão de 15 mililitros, responder: a) Qual a fração de copos que conterá mais de 224 mililitros? b) Qual a probabilidade de que um copo contenha entre 191 e 209 mililitros? c) Quantos copos provavelmente transbordarão se forem utilizados copos de 230 mililitros para as próximas mil bebidas? d) Abaixo de qual valor temos os 25% menores volumes de bebida?

Answer 1

Olá!

Podemos resolver esses problemas com o conceito de densidade de probabilidade, dada por Z:

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

onde X é o dado a ser testado, μé a média e σ é o desvio padrão.

a) Temos nesse caso que μ = 200 mL, σ = 15 mL e X = 224 mL. Assim, podemos calcular Z:

$Z = \frac{224 - 200}{15}$ = 1,6

Olhando na tabela de densidade, temos que Z = 1,6 corresponde a uma área sobre a curva de 0,4452. Logo, a fração de copos com 224 mL será de:

f = 0,5000 - 0,4452 = 0,0548

b) Nesse caso temos que X = 191 e 209. Então devemos obter o Z para cada um deles:

$Z = \frac{191 - 200}{15}$ = -0,6

$Z = \frac{209 - 200}{15}$ = 0,6

Através da tabela novamente, temos que a área sobre a curva quando Z = -0,6 e 0,6 será de 0,2257 em ambos os casos. Logo, a probabilidade é de:

P = 0,2257 + 0,2257 = 0,4514

c) Nesse caso X = 230, logo:

$Z = \frac{230 - 200}{15}$ = 2,0

Através da tabela novamente, temos que a área sobre a curva quando Z = 2,0 é de 0,4772. Logo, a porcentagem de copos que transbordarão será:

% copos = 0,5000 - 0,4772 = 0,0228

Copos = 0,0228 x 1000 = 22,8 ≅ 30 copos

d) Ao olharmos na tabela, temos que uma área de 25% (0,2500) correspondente a aproximadamente Z = 0,675. Logo:

$0,675 = \frac{X - 200}{15}$

X - 200 = 10,125

Logo, teremos os 25% menores volumes ocorrerá a partir de 189,88 mL.

Espero ter ajudado!