Question

uma loja decide premiar seus clientes. cada cliente receberá um dos seis possiveis brindes disponíveis, conforme sua ordem de chegada na loja. os brindes a serem distribuidos são: uma bola, um chaveiro, uma caneta, um refrigerante, um sorvete e um CD, nessa ordem. O primeiro cliente da loja recebe uma bola, o segundo recebe um chaveiro, o terceiro recebe uma caneta, o quarto um refrigerante, o quinto um sorvete, o sexto um CD, o setimo uma bola, o oitavo um chaveiro, e assim sucessivamente, segundo a ordem dos brindes.
O milésimo cliente receberá de brinde um(a)
a)bola
b) caneta
c) refrigerante
d)sorvete
e)CD

Answer 1

Embora não seja necessário, vou procurar inserir o tópico de progressão aritmética para a solução desse problema.

Há seis brindes diferentes:  bola, chaveiro, caneta, refrigerante, sorvete e CD. Os brindes são distribuídos na ordem em que foram listados. Para brindes nas posições maiores, o ciclo se repete periodicamente de 6 em 6.

Seja $\mathsf{a_n}$ a sequência formada por todas as posições premiadas com o mesmo brinde que o milésimo cliente.

     •  último elemento da sequência:  $\mathsf{a_n=1000;}$

     •  razão da P.A.:   $\mathsf{r=6;}$

     •  primeiro elemento:  $\mathsf{a_1,\qquad com~~1\le a_1\le 6.}$


A restrição para o primeiro elemento é apenas para podermos determinar qual é o brinde correspondente, pois sabemos os brindes da posição 1 até a posição 6.

     $\mathsf{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}\\\\ \mathsf{1000=a_1+(n-1)\cdot 6}\\\\ \mathsf{1000=a_1+6n-6}\\\\ \mathsf{1000+6=a_1+6n}\\\\ \mathsf{1006=6n+a_1\qquad\quad (i)}$


Partindo da restrição sobre o primeiro termo, vamos encontrar o n adequado:

     $\mathsf{1\le a_1\le 6}$


Some 6n a todos os membros:

     $\mathsf{1+6n\le a_1+6n\le 6+6n}\\\\ \mathsf{1+6n\le 1006\le 6+6n}\\\\ \mathsf{6n\le 1006-1\le 6+6n-1}\\\\ \mathsf{6n\le 1005\le 6n+5}$


Mas  1005 = 6 · 167 + 3  (basta fazer a divisão de 1005 por 6, e olhar para o quociente e o resto).  Então,

     $\mathsf{6n\le 6\cdot 167+3\le 6n+5}$


Como n é inteiro, só há um valor possível, que você pode obter simplesmente resolvendo a dupla desigualdade acima:

     $\mathsf{n=167}$        ✔


Agora podemos encontrar o primeiro termo da P.A.:

     $\mathsf{1006=6n+a_1}\\\\ \mathsf{1006=6\cdot 167+a_1}\\\\ \mathsf{1006=1002+a_1}\\\\ \mathsf{a_1=1006-1002}$

     $\mathsf{a_1=4}$        ✔


e a sequência correspondente é

     $\mathsf{(4,\,10,\,16,\,\ldots,\,994,\,1000)}$

ou seja, todos os clientes das posições listadas na sequência acima receberão o mesmo brinde.

Como o primeiro termo é 4, isto significa que o milésimo cliente receberá o mesmo brinde que o 4º cliente, isto é, um refrigerante.

—————

Forma mais direta para resolver este problema.

Como o ciclo de distribuição dos brindes se repete a cada 6 clientes, basta encontrar o resto da divisão de 1000 por 6:

        1 0 0 0      | 6
                         —————
   −      6              1 6 6
   ———
           4 0
      −   3 6
      ———
              4 0
         −   3 6
         ———
                 4


1000 dividido por 6 deixa resto 4. Logo, o 1000º cliente receberá o mesmo brinde que o 4º cliente.


Resposta:  alternativa  c) refrigerante.


Bons estudos! :-)