Question

Uma lata cilíndrica sem o topo é feita para receber 1000cm³ de óleo. Encontre as dimensões, raio = R e altura = h, que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.

Escolha uma:
a. R=100π -¹/³cm e h= 10π ¹/³cm

b. R=20cm e h= 5cm

c. R=100π ¹/³cm e h=10π -¹/³cm

d. R = 10π -¹/³ cm e h = 10π -¹/³cm

e. R = 10cm e h = 100cm

Answer 1

Sabendo o volume vamos calcular a área do cilindro: 

A = A base + A lateral 
A = π x r² + 2 x π x r x h 
A = π.r² + 2π.r.h 

Desta forma o volume do cilindro é dado por: 

V = A base x h 
V = π.r².h 

Se isolarmos o "h" na equação do volume temos:: 

h = V / (π x r²) 
h = 1000 / (π.r²) 

Agora vamos substituir esse valor na equação da área: 

A = π.r² + 2π.r.h 
A = π.r² + 2π.r  1000 / (π.r²) 
A = π.r² + 2000/r 

O custo de metal será mínimo quando a área total da lata for mínima. Para isso a derivada da equação da área deverá ser igual a 0. 

A' = d/dr (A) 
A' = d/dr (πr² + 2000/r) 
A' = π x d/dr (r²) + 2000 x d/dr (r^(-1)) 
A' = π x 2r + 2000 x -1.r^(-2) 
A' = 2π.r - 2000 / r² 

Agora, basta igualamos a derivada da área a zero, portanto: 

2π.r - 2000 / r² = 0 
2π.r = 2000 / r² 
2π.r³ = 2000 
r³ = 2000/ 2π 
r³ = 1000/π 
r = ³√(1000/π) 
r = 6,83 cm ou 10.π^(-1/3)
Agra vamos substituir o raio na equação do volume, para encontrarmos a altura da lata:

V = π x r² x h 
1000 = π x 6,83² x h 
1000 = 46,64.π x h 
h = 1000 / 46,64.π 
h = 6,83 cm ou 21,45.π^(-1) cm ou 10.π^(-1/3)