Question

Uma lanchonete vendia 120 empadas por dia a R$ 3,00 cada uma. Na tentativa de aumentar o faturamento, o proprietário resolveu fazer uma série de promoções, a fim de compreender o mercado. Ele decidiu baixar o preço da empada em R$ 0,25 por dia e percebeu que cada vez que fazia isso vendia 30 empadas a mais que no dia anterior. Como foi cauteloso, anotou os resultados diariamente e constatou que, mesmo com as vendas aumentando, seu faturamento, que começou crescendo, passou a diminuir em certo momento. Com isso, ele percebeu que, para seu faturamento ser máximo, o preço de cada empada deveria ser:

Answer 1

Utilizando construção de funções e vertice de função parabola, encontramos que o valor da empada no qual ele vai faturar mais é de R$ 2,00.

Explicação passo-a-passo:

Então vamos montar uma função para o preço e outra função para a quantidade vendida.

Para o preço ele disse que começou a 3 reais e baixo 0,25 por dia, então nossa função fica:

$P(x)=3-0,25x$

E a quantidade vendida antes era 120 reais e aumentou 30 empadas vendidas por dia, então a função fica:

$Q(x)=120+30x$

Nestas duas funções x é o número de dias passados depois que ele começou a fazer este experimento de vendas.

Agora note que o valor que ele recebe, ou seja, sua Receita é o quanto ele vendeu vezes o quanto ele cobrou, ou seja:

$R(x)=P(x).Q(x)$

$R(x)=(3-0,25x).(120+30x)$

$R(x)=-7,5x^2+60x+360$

Note que esta função receita é uma função de uma parabola voltada para baixo, ou seja, ela possui um ponto maxima que é o vertice da parabola, então se quisermos saber que dia ele ganhou mais, basta encontrarmos o x do vertice desta parabola. A formula do x do vertice é:

$Xv=\frac{-b}{2a}$

Então para nossa função:

$a=-7,5;b=60;c=360$

$Xv=\frac{-60}{2.(-7,5)}$

$Xv=\frac{60}{15}$

$Xv=4$

Ou seja, o dia que ele mais vendeu foi o dia 4 após ele ter começado, então podemos descobrir por quanto ele vendeu neste dia:

$P(x)=3-0,25x$

$P(x)=3-0,25.4$

$P(x)=3-1$

$P(x)=2$

Assim temos que neste dia ele vendeu empadas a 2 reais, então o valor da empada no qual ele vai faturar mais é de R$ 2,00.