Question

Uma integral que envolve frações no integrando recebe o nome de integração racional . Normalmente, podem ser resolvidas por técnicas de integração, como frações parciais, divisão de polinômios, entre outras. Neste exercício, vamos usar a técnica de substituição de variáveis.

Answer 1

Para duas funções f(x) e g(x), a integral $\int \dfrac{f(x)}{g(x)}$  pode ser resolvida usando a técnica de substituição de variáveis em integrais racionais se for possível escrever  $\int \dfrac{f(x)}{g(x)}$ como

$\int \dfrac{\frac{d}{dx}u(x)}{h(u(x))}$.

Ou seja, o denominador tem que ser, de alguma forma, a integral do numerador.

A técnica de substituição de variáveis é a primitiva da derivada pela regra da cadeia.

Se tivermos uma função da forma f(g(x)), a derivada será f'(g(x))g'(x).

E f'(g(x))g'(x) ao ser integrado, resultará em f(g(x)).

Exemplos de integrais que possam ser resolvidas por substituição são

$\int \dfrac{xdx}{\sqrt{x^2+1}}$ onde

$u=x^2+1$

$du=\frac{d}{dx}x^2+1=2xdx$ e

$\int \dfrac{xdx}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{2xdx}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{du}{\sqrt{u}}=\sqrt{u}$.

repare que na representação  $\int \dfrac{\frac{d}{dx}u(x)}{h(u(x))}$.

temos que $h = \sqrt{u(x)}$

Answer 2

Resposta:

$\sqrt{1 +4x+3x^{2} }  + C$