Question

Uma inequação pode envolver o produto ou o quociente de duas ou mais funções. Se o lado esquerdo da inequação for o produto ou o quociente de duas funções e o lado direito da inequação for apenas zero, podemos resolvê-la analisando o sinal de cada função e respeitado as regras de sinais. O intervalo onde a inequação

Answer 1

A parte esquerda da inequação é basicamente uma fração. Ela será negativa (menor que 0) em dois cenários:

Cenário 1:

O numerador (parte de cima) é negativo:

$x^2-3x > 0$

A parte esquerda gera uma parábola com concavidade voltada para cima no gráfico, este tipo de parábola gera valores positivos antes da menor raiz e depois da maior raiz. Vamos calcular as raízes:

$x^2-3x=0$

$x(x-3)=0$

$x_1=0$

$x_2-3=0$

$x_2=3$

Assim o numerador será positivo no intervalo:

$(-\infty,0)\ U\ (3,\infty)$

E o denominador (parte de baixo) deve ser negativo:

$-x+2 < 0$

$-x < -2$

$x > 2$

O intervalo que obedece ambas as condições ao mesmo tempo é:

$(3,\infty)$

Cenário 2:

O numerador (parte de cima) é negativo:

$x^2-3x < 0$

A parte esquerda gera uma parábola com concavidade voltada para cima no gráfico, este tipo de parábola gera valores negativos entre as raízes. Já calculamos as raízes e sabemos que são 0 e 3, então o numerador será negativo no intervalo:

$(0,3)$

E o denominador (parte de baixo) é positivo:

$-x+2 > 0$

$-x > -2$

$x < 2$

O intervalo que obedece ambas as condições ao mesmo tempo é:

$(0,2)$

Conclusão:

Descobrimos os dois intervalos que satisfazem esta inequação ao analisar os dois cenários.

Finalmente a solução será dada pela união dos dois intervalos:

$(0,2)\ U\ (3,\infty)$