Uma industria produz três produtos x, y e z, utilizando dois tipos de insumo, a e b. Para manufatura de cada kg de x são utilizados 2 gramas de insumos a e 1 grama de insumo b; para cada kg de y, 1 grama de insumo a e 3 gramas de insumo b e, para cada kg de z, 3 gramas de a e 5 gramas de b. O preço de venda do kg de cada um dos produtos x, y e z é de R$ 3,00, R$ 2,00 e R$ 4,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de x, y e z manufaturada com 1,9 kg de a e 2,4 de b, essa industria arrecadou R$ 2900. Determine quantos kg de cada um dor produtos x,y e z foram vendidos.
Soluções para a tarefa
Oi!
Para resolver essa questão, vamos primeiro tomar nota de alguns dados importantes:
-->produtos (X , Y ,Z)
-->insumos ( A ,B) (gramas de insumo)/(Kg do produto)
Agora acompanhe o seguinte raciocínio:
sejam α, β e γ quantidades dos produtos X, Y e Z (em Kg )
produto X ---> insumos (2, 1).α
produto Y ---> insumos (1, 3).β
produto Z ---> insumos (3 , 5).γ
teremos que
total ---> insumos (1900 ; 2400)
via aplicação de produto escalar
(2, 1).α = (2α , α)
(1, 3).β = (β , 3β )
(3 , 5).γ =(3γ, 5γ)
Assim teremos que
total do insumo A
2α + β + 3γ = 1900
total do insumo B
α + 3β + 5γ = 2400
total de vendas
3α + 2β + 4γ = 2900
Isso gera o seguinte sistema de 3 equações e 3 incógnitas :
2α + β + 3γ = 1900
α + 3β + 5γ = 2400
3α + 2β + 4γ = 2900
Resolvendo,
2α + β + 3γ = 1900
-2α - 6β - 10γ = -4800
-5β - 7γ = -2900
-3α - 9β - 15γ = -7200
3α + 2β + 4γ = 2900
-7β - 11γ = - 4300
-5β - 7γ = -2900 x (7)
-7β - 11γ = - 4300 x (-5)
-35β - 49γ = -20300
+35β +55γ =+21500
por fim, teremos :
6γ = 1200 ,
γ =200Kg
β= 300kg
α= 500Kg