Question

Uma indústria produz, por dia, x unidades de determinado produto, e pode vender tudo o que produzir a um preço de R$ 200,00 a unidade. Se x unidades são produzidas a cada dia, o custo total, em reais, da produção diária é igual a x² -60x + 700.

a) Para que a indústria tenha lucro diário máximo, qual deve ser o número de unidades produzidas e vendidas por dia?

b) Qual o lucro máximo?

c) Desenhe o gráfico da função Lucro.

Answer 1

a) 130 unidades

b) R$16.200,00

c) Conforme descrito abaixo

Explicação passo-a-passo:

Podemos encontrar a função Lucro (L) a partir da diferença entre a arrecadação de venda (V) e o preço de custo da produção (C). A partir do enunciado, temos que:

V(x) = 200 • x

C(x) = x² - 60x + 700

L(x) = V(x) - C(x)

L(x) = 200x - (x² - 60x + 700)

L(x) = 200x - x² + 60x - 700

L(x) = - x² + 260x - 700

Portanto, trata-se de uma função de 2º grau, com concavidade voltada para baixo, apresentando um vértice de valor máximo de lucro.

a) Para tal, precisamos calcular o valor de x correspondente ao vértice da função, onde o lucro diário é máximo - Xv (X vértice). O Xv é dado a partir dos coeficientes da função, pela conta - b / 2a

Xv = - b / 2a = - 260 / 2 • (-1) = 130

b) O lucro máximo corresponde ao valor de y no vértice da função, ou seja o Yv (Y vértice). O Yv é dado a partir dos coeficientes da função, pela conta - ∆ / 4a

Yv = - ∆ / 4a = - (b² - 4ac) / 4a

Yv = - [260² - 4 • (-1) • (-700)] / 4 • (-1)

Yv = - (67600 - 2800) / - 4

Yv = 64800 / 4 = 16200

c) O gráfico da função lucro compreende uma parábola, com concavidade voltada para baixo (a < 0), com vértice de coordenadas V = (130, 16200) e que intercepta o eixo y no ponto (0, -700) e intercepta o eixo x em dois pontos distintos.