Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) = 3x² - 12x. Sendo V medido em milhares de reais, determine a quantidade x correspondente à receita máxima?
Soluções para a tarefa
Resposta:
7 lotes
Temos que:
\begin{gathered}Lucro = Valor - Custo\\\\L(x)=V(x)-C(x)\\\\L(x)=(3x^2-12x)-(5x^2-40x-40)\\\\L(x)=-2x^2+28x+40\end{gathered}Lucro=Valor−CustoL(x)=V(x)−C(x)L(x)=(3x2−12x)−(5x2−40x−40)L(x)=−2x2+28x+40
Onde x é o número de lotes e L é o lucro.
Forma geral de equações do 2° grau:
ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0
No nosso caso:
a=-2,b=28,c=40a=−2,b=28,c=40
Primeiro, veja que temos o coeficiente a (que acompanha o x^2x2 ) menor que zero. Isso indica que a concavidade da parábola é para baixo e, portanto, temos um ponto de máximo.
Se calcularmos o x do vértice encontraremos o número de lotes associado ao lucro máximo (que é o que a questão pede).
Se calcularmos o L do vértice (ou y do vértice) encontraremos o valor do lucro máximo em si.
Logo:
\begin{gathered}x_v=\frac{-b}{2a}\\\\x_v=\frac{-28}{2*(-2)}\\\\x_v=7\end{gathered}xv=2a−bxv=2∗(−2)−28xv=7
Portanto, o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a 7.
Valeu!