Question

Uma indústria de peças para micro-ondas tem um custo mensal de
C(x) = 1500 + 200x,
dado em função de x unidades produzidas.
O gerente dessa empresa deseja analisar as quantidades de produtos e sua relação com o lucro obtido para planejar a produção para o ano seguinte. O gerente precisa analisar a função demanda mensal, sabendo que esta é dada por uma expressão na forma
d(x) = ax + b,
com a e b reais não nulos. Como hipóteses, considere que o lucro dessa empresa provém exclusivamente da venda das unidades produzidas e, além disso, que todas as unidades produzidas são vendidas. Se a função receita é descrita por meio do produto da função demanda pela quantidade x de peças produzidas, e o lucro é dado pela diferença entre a função receita e a função custo, reflita a respeito das seguintes questões:
a)Sabendo que o lucro assume um único valor máximo, quais são os possíveis valores assumidos pelo coeficiente a da função demanda?
b)Se o lucro máximo é atingido quando são produzidas 165 peças, o que podemos afirmar a respeito dos valores assumidos pelas constantes a e b presentes em d(x)?
c)Se o lucro máximo corresponde a R$ 25725,00, o que podemos afirmar a respeito dos valores assumidos pelas constantes a e b presentes em d(x)?

Answer 1

Olá!

Temos que a função Custo é dada por C(x) = 1500 + 200x e a função demanda dada por d(x) = ax + b, sendo que a e b não são nulos. Logo a função Receita e função Lucro serão:

R(x) = d(x).x = ax² + bx

L(x) = ax² + bx - 1500 - 200x = ax² + (b-200)x - 1500

a) Podemos encontrar o Lucro máximo derivando a função Lucro e igualando a zero, logo:

L'(x) = 2ax + (b-200) = 0 ∴ a = $\frac{200-b}{2x}$

Como x é um valor sempre positivo e b não pode ser 200, uma vez que tornaria a = 0, temos duas possibilidades:

• Se b < 0 ou 0 > b > 199, a será positivo;
• Se b > 200, a será negativo.

b) Se o lucro máximo é atingido quando x = 165 peças, temos que:

L'(x) = 2ax + (b-200) = 0

a = $\frac{200-b}{330}$

Analisando, a e b possuem a relação acima.

c) Se o Lucro máximo corresponde a L(x) = R$ 25.725, teremos que:

25.725 = ax² + (b-200)x - 1500

27.225 = ax² + (b-200)x

27.225 - (b-200)x = ax²

a = $\frac{27.225-(b-200)x}{x^{2}}$

Analisando, a e b possuem a relação acima.

Espero ter ajudado!