Question

Uma herança de 300 mil reais será repartida entre os
indivíduos A, B e C. Cada um deve receber partes diretamente
proporcionais a 3, 5 e 6, respectivamente, e inversamente
proporcionais às idades de cada um. Sabendo-se que A tem
12 anos, B tem 15 e C, 24, qual será a parte recebida por A?

Answer 1

Resposta:

O indivíduo A receberá 90 000, B receberá 120 000 e C receberá 90 000.

Explicação passo-a-passo:

Diretamente proporcionais a 3, 5 e 6

Inversamente proporcionais a 12, 15 e 24 // 1/12, 1/15, 1/24

x = partes

A = 3 . 1/12 . x = 3x/12 = x/4

B = 5 . 1/15 . x = 5x/15 = x/3

C = 6 . 1/24 . p = 6x/24 = x/4

x/4 + x/3 + x/4 = 300 000

MMC de 3, 4 e 4 = 12

12 : 4 = 3 // 3 . x = 3x

12 : 3 = 4 // 4 . x = 4x

12 : 4 = 3 // 3 . x = 3x

3x + 4x + 3x

------------------   =   300 000

       12

3x + 4x + 3x = 12 . 300 000

10x = 3 600 000

x = 3 600 000 : 10

x = 360 000

A = 360 000 : 4 = 90 000

B = 360 000 : 3 = 120 000

C = 360 000 : 4 = 90 000

Answer 2

Utilizando relação de proporcionalidade e substituição em sistemas de equações, vemos que o valor que A recebeu é de 90 mil.

Explicação passo-a-passo:

Quando temos relações de proporcionalidade, quer dizer que temos uma constante 'K', que chamamos de constante de proporcionalidade, que devemos manter constante e igual para todos os valores.

Esta constante é igual ao valor em questão, dividido por todos os valores diretamente proporcionais e multiplicado por todos os valores inversamente proporcionais a eles. Com isso podemos escrever esta constante para cada um dos individuos que irão receber a herança:

$K=\frac{12A}{3}=\frac{15B}{5}=\frac{24C}{6}$

Note também que sabemos que a soma destes três valores dos individuos deve ser igual a 300 mil:

$A + B + C = 300$

OBS: Vou usar só 300 ao invés de 300 000, basta saber no final que a resposta está em milhares.

Assim vamos na relação de proporção isolar B e C, para poder substituir na equação de soma acima, ficando somente o valor de A:

$\frac{12A}{3}=\frac{15B}{5} \rightarrow B = \frac{5\cdot 12A}{15 \cdot 3}=\frac{60A}{45}=\frac{4A}{3}$

$\frac{12A}{3}=\frac{24C}{6} \rightarrow C = \frac{6\cdot 12A}{24 \cdot 3}=\frac{72A}{72}=A$

Assim substituindos os valores de B e C na soma, ficamos com:

$A + B + C = 300$

$A + \frac{4A}{3} + A = 300$

Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar o denominador:

$3A + 4A + 3A = 900$

$10A = 900$

$A = \frac{900}{10}$

$A = 90$

E assim vemos que o valor que A recebeu é de 90 mil.

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