Question

Uma haste metálica, a 0ºC mede 100 m conforme indicação de uma régua de vidro na mesma temperatura. Quando a haste e a régua são aquecidas a 200ºC o comprimento da haste medido pela régua passa a ser de 106,0 m Com base nessas informações, o coeficiente de dilatação linear do material que constitui a haste é :Dado: coeficiente de dilatação linear do vidro: 9.10-6ºC-1

Answer 1

Aqui temos um caso de dilatação aparente.

Note que, além da haste de metal, a régua também sofrerá dilatação, ou seja, sua medição estará comprometida.

Quando a régua dilata, suas marcações ficarão mais espaçadas, assim um comprimento de 10 cm poderá ser dado na régua dilatada como 9,5 cm, por exemplo.

A partir daqui podemos ter diferentes abordagens para chegar no mesmo resultado, nesta resolução vamos montar uma equação para a dilatação real da haste, dada sua dilatação aparente e a dilatação da régua.

Sabemos que, se a régua não dilatasse, a dilatação aparente da haste seria igual sua dilatação real, no entanto, como a régua também aumentou seu tamanho, ou seja, nossa referencia sofreu dilatação, precisamos considerar a dilatação dessa referencia e soma-la à dilatação da haste.

$\boxed{Dilatacao~Real~=~Dilatacao~Aparente~+~Dilatacao~da~Referencia}$

Vamos então extrair os dados do texto:

$\begin{array}{ccl}T_{inicial}&=&0^\circ C\\T_{final}&=&200^\circ C\\L_{o,haste}&=&100~m\\L_{o,regua}&=&100~m\\\alpha_{vidro}&=&9\cdot10^{-6}~^\circ C^{-1}\\^{Dilatacao}_{Aparente}&=&106,0-100\end{array}$

Sendo a dilatação linear (ΔL) dada por:

$\boxed{\Delta L~=~L_o\cdot \alpha\cdot \Delta T}$

Substituindo as informações na equação montada anteriormente, temos:

$\Delta L_{haste,Real}~=~\Delta L_{haste,Aparente}~+~\Delta L_{regua}\\\\\\L_{o,haste}\cdot \alpha_{haste}\cdot \Delta T~=~(106,0-100)~+~L_{o,regua}\cdot\alpha_{regua}\cdot \Delta T\\\\\\100\cdot \alpha_{haste}\cdot (200-0)~=~6,0~+~100\cdot9\cdot10^{-6}\cdot (200-0)\\\\\\100\cdot \alpha_{haste}\cdot 200~=~6,0~+~900\cdot10^{-6}\cdot 200\\\\\\20000\cdot \alpha_{haste}~=~6,0~+~180000\cdot10^{-6}\\\\\\20000\cdot \alpha_{haste}~=~6,0~+~0,18\\\\\\20000\cdot \alpha_{haste}~=~6,18$

$\alpha_{haste}~=~\dfrac{6,18}{20000}\\\\\\\alpha_{haste}~=~\dfrac{3,09}{10000}\\\\\\\alpha_{haste}~=~\dfrac{3,09}{10^4}\\\\\\\boxed{\alpha_{haste}~=~3,09\cdot10^{-4}^\circ C^{-1}}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$