Question

Uma gravilha é lançada à velocidade inicial v_0=15 m/s e sob um ângulo α=30°, por um canhão caseiro, a partir da superfície de um terraço suficientemente extenso de 25 m de altura. Determinar: (a) o tempo que a gravilha leva para atingir o solo (não o terraço). (b) a distância horizontal percorrida a partir do ponto de lançamento. (c) o módulo da velocidade imediatamente antes de embater com o solo. (d) o ângulo formado entre a velocidade e a trajectória no ponto de contacto com o solo

Answer 1

Vamos utilizar os conceitos de Movimento Oblíquo para responder cada alternativa.

a) Vamos dividir o movimento em duas etapas e analisar cada uma:

Subida até a altura máxima:

Entre a plataforma e a altura máxima atingida o móvel percorrerá um arco de parábola correspondente ao movimento uniformemente acelerado vertical. No ponto de altura máxima sua velocidade vertical será nula. Logo:

$v_{oy_{final}} = v_{oy_{inicial}} - g*t\\\\0 = 15*sen30^o - 10t\\\\10t = 7,5\\\\t = 0,75 s$

Descida da altura máxima até o solo:

Primeiramente vamos encontrar a altura máxima atingida:

$v_{oy_{final}}^2 = v_{oy_{inicial}}^2 - 2g\Delta H = v_{oy_{inicial}}^2 - 2g(H_{max} - h_o)\\\\0^2 = (v_o*sen30^o)^2 - 2*10*(H - 25)\\\\20(H - 25) = (15*0,5)^2 = 56,25\\\\H - 25 = 2,81\\\\H = 27,81 m$

Agora vamos analisar o movimento de descida e calcular o tempo gasto:

$H_{max} = h_o + v_{oy}t + gt^2/2\\\\27,81 = 0 + 0 + 10t^2/2\\\\10t^2 = 55,62\\\\t = 2,36 s$

O tempo total de percurso será a soma desses dois tempos calculados:

T = 0,75 + 2,36 = 3,11 s

b) Na horizontal o movimento é uniforme. Como sabemos o tempo total de voo podemos calcular a distância horizontal percorrida:

$x = x_o + v_x*T = 0 + (v_o*cos30^o)*t = 15*0,866*3,11 = 40,4 m$

c) Vamos calcular primeiramente a componente vertical da velocidade com base o segundo instante analisado na letra a), ou seja, na descida:

$v_y^2 = v_{oy}^2 + 2g\Delta H = 0^2 + 2gH_{max} = 2*10*27,81 = 556,2\\\\v_y = 23,58 m/s$

O módulo do vetor velocidade final será dado por:

$v = \sqrt{v_y^2 + v_x^2} = \sqrt{23,58^2 + (15*0,866)^2} = \sqrt{556,01 + 168,74} = 26,92 m/s$

Vale ressaltar que a velocidade horizontal é constante.

d) Podemos calcular diretamente das componentes da velocidade calculada:

$tg\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{23,58}{12,99} = 1,8152\\\\\theta = tg^{-1} (1,8152) = 61,15^o$

Vale lembrar que esse ângulo é em relação à horizontal. Contudo, ele deve ser negativo, pois a velocidade, no instante de queda, aponta para baixo. Logo:

$\theta = - 61,15^o$

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