Question

Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o valor de n é igual a

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Limafernando, que a resolução também é simples (embora um pouco trabalhosa).
Vamos fazer o seguinte: chamaremos o preço dessa geladeira de "P".
Como ela poderá ser vendida em "n" parcelas sem juros, então o valor de cada parcela será o valor da geladeira (P) dividido pelo número de parcelas (n).
O número de parcelas será obtido assim:

P/n      (I)

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se o número de parcelas for reduzido em 3 parcelas, então valor de cada uma das parcelas será acrescido de MAIS R$ 60,00.
Assim, o valor de cada parcela será dado por:

P/(n-3) + 60    . (II)

ii) Se o número de parcelas for reduzido em 5 parcelas, então o valor de cada uma das parcelas será acrescido de MAIS R$ 125,00.
Logo, o valor de cada parcela será dado por:

P/(n-5) + 125      . (III) .

iii) Agora note uma coisa: o valor final sempre será o mesmo, pois a geladeira será vendida sem juros. Então teremos que o valor das "n" parcelas, que será dado por P/n, será igual ao valor das "n-3" parcelas, que será dado por P/(n-3) + 60 , e será igual também ao valor das "n-5" parcelas, que será dado por P/(n-5) + 125 .

iv) Assim, poderemos igualar as expressões (I) = (II) = (III). Fazendo isso, teremos:

P/n = P/(n-3) + 60 = P/(n-5) + 125 .

Como as três expressões são iguais entre si, então vamos igualar a primeira expressão com a segunda, ficando:

P/n = P(n-3) + 60 ----- mmc no 2º membro = n-3. Assim:
P/n = (1*P + (n-3)*60))/(n-3)
P/n = (P + 60n - 180)/(n-3) ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
(n-3)*P = n*(P + 60n - 180) ---- efetuando os produtos indicados, teremos:
Pn - 3P = Pn + 60n² - 180n ------ passando "Pn" do 2º para o 1º membro, teremos:

Pn - 3P - Pn = 60n² - 180n ---- reduzindo os termos semelhantes no 1º membro, ficaremos apenas com:

-3P = 60n² - 180n ----- se dividirmos ambos os membros por "-3" iremos ficar apenas com:

P = - 20n² + 60n       (IV) 

v) Agora vamos trabalhar com a terceira expressão, ou seja vamos igualar a primeira com a terceira expressão. Logo:

P/n = P/(n-5) + 125 ------ mmc no 2º membro é igual a "n-5". Assim, utilizando-o, teremos:

P/n = [1*P + (n-5)*125]/(n-5)
P/n = [P + 125n - 625]/(n-5) ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

P(n-5) = n*[P + 125n - 625] ----- efetuando os produtos indicados, teremos:
Pn - 5P = Pn + 125n² - 625n ----- passando "Pn" do 2º para o 1º membro, teremos:

Pn - 5P - Pn = 125n² - 625n ----- reduzindo os termos semelhantes no 1º membro, teremos:

- 5P = 125n² - 625n ---- se dividirmos ambos os membros por "-5" iremos ficar apenas com:

P = - 25n² + 125n    . (V)

vi) Mas já vimos, conforme a expressão (IV), que P = - 20n² + 60n . Então vamos substituir o valor de P, na expressão (V) acima por "-20n² + 60n". Assim:

- 20n² + 60n = - 25n² + 125n ----- passando todo o 2º membro para o 2º, teremos:

- 20n² + 60n + 25n² - 125n = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos assim:

5n² - 65n = 0 ---- vamos colocar "n" em evidência, ficando assim:

n*(5n - 65) = 0 ---- veja que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
n = 0 ----> n' = 0 <---- raiz inválida, pois o número de parcelas não poderá ser zero.

ou
5n - 65 = 0 -----> 5n = 65 ----> n = 65/5 ----> n'' = 13 <---- raiz válida.

Assim, tomando-se apenas a raiz positiva, teremos que:

n = 13 <---- Pronto. Esta é a resposta. Este é o valor de "n".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Resposta:

$n = 13$

Explicação passo-a-passo:

Seja $x$ o preço da geladeira e $n$ o número de parcelas.

Pagando-se três parcelas a menos, temos:

$\frac{x}{n-3} = \frac{x}{n} + 60$ --> Eq 1

Pagando-se cinco parcelas a menos, temos:

$\frac{x}{n-5} = \frac{x}{n} + 125$ --> Eq 2

Isolando $x$ na equação 1, temos:

$\frac{x}{n-3} - \frac{x}{n}=60$

$x(\frac{1}{n-3} -\frac{1}{n} )=60$

$x(\frac{3}{n(n-3)}) = 60$

logo

$x = 20n(n-3)$ --> Eq 3

Substituindo a equação 3 na equação 2, temos:

$\frac{20n(n-3)}{n-5} = \frac{20n(n-3)}{n} + 125 = 20(n-3) + 125$

Resolvendo para $n$, temos:

$\frac{20n(n-3)}{n-5} - 20(n-3) = 125$

$20(n-3)(\frac{n}{n-5} - 1) = 125$

$\frac{20(n-3)5}{n-5} = 125$

$\frac{n-3}{n-5} = \frac{125}{100}=\frac{5}{4}$

$n-3 = \frac{5}{4}(n-5) = \frac{5n}{4} - \frac{25}{4}$

$\frac{5n}{4} - n= \frac{25}{4} - 3$

$\frac{n}{4} = \frac{13}{4}$

portanto, decorre que:

$n = 13.$