Question

Uma função : ℝ → ℝ, definida por () = ² + + , com a, b e ∈ ℝ e ≠ 0, assume um valor negativo quando = −5 e positivo quando = −1 e = 2. Logo, é correto afirmar que

(A) > 0
(B) < 0
(C) > 0
(D) < 0
(E) > 0

Answer 1

De acordo com o teorema de Bolzano é correto afirmar que c)c > 0

Teorema de Bolzano

Iremos focar no 1° caso de Bolzano.

1° caso: a equação polinomial P(x) = 0 admite raízes reais e imaginárias

Sejam $r_1,r_2,....,r_k$ as raízes reais da equação $P\left(x\right)=0;z_1,\overline{z_1},z_2,\overline{z_2},...,z_m\:e\:\overline{z_m}$ as raízes imaginárias dessa equação; e $a_n$ o coeficiente dominante do polinômio P(x). Temos:

$P\left(x\right)\equiv Q\left(x\right)\cdot T\left(x\right)(I)$

onde

$Q\left(x\right)\equiv a_n\left(x-r_1\right)\left(x-r_2\right)._{.....}.\left(x-r_k\right)\:e\:T\left(x\right)\equiv \:\left(x-z_1\right)\left(x-\overline{z_1}\right)\cdot _{....}\cdot \left(x-z_m\right)\cdot \left(x-\overline{z_m}\right)$

Sendo $r_j$, com 1 ≤ j ≤ k, uma raiz real da equação P(x) = 0, há duas possibilidades:

1ª)$r_j\in ]a,b[$

Sob essa possibilidade, temos:

$a < r_j < b\Rightarrow \begin{cases}a-r_j < 0&\\ b-r_j > 0&\end{cases}\Rightarrow \left(a-r_j\right)\left(b-r_j\right) < 0$

2°)$r_j\notin ]a,b[$

Sob essa possibilidade, temos:

$r_j\: < \:a\: < \:b\Rightarrow \:\begin{cases}a-r_j\: > \:0&\\ \:b-r_j\: > \:0&\end{cases}\Rightarrow \:\left(a-r_j\right)\left(b-r_j\right)\: > \:0$

ou

$a\: < \:b\: < \:r_j\Rightarrow \:\begin{cases}a-r_j\: < \:0&\\ \:b-r_j\: < \:0&\end{cases}\Rightarrow \:\left(a-r_j\right)\left(b-r_j\right)\: > \:0$

Podemos deduzir então que o produto $\left(a-r_j\right)\left(b-r_j\right)$ é negativo se, e somente se, $r_j$ está entre a e b. Por (I), temos:

$\begin{cases}P\left(a\right)=Q\left(a\right)\cdot T\left(a\right)&\\ P\left(b\right)=Q\left(b\right)\cdot T\left(b\right)&\end{cases}\Rightarrow P\left(a\right)\cdot P\left(b\right)=Q\left(a\right)\cdot Q\left(b\right)\cdot T\left(a\right)\cdot T\left(b\right)$

Como T(x) > 0, para qualquer valor real de x, temos T(a) . T(b) > 0. Logo, o sinal do produto P(a) . P(b) é o mesmo do produto Q(a) . Q(b):

$Q\left(a\right)\cdot Q\left(b\right)=a_n\left(a-r_1\right)\left(a-r_2\right)\cdot _{....}\cdot \left(a-r_k\right)\cdot a_n\left(b-r_1\right)\cdot _{....}\cdot \left(b-r_k\right)\therefore$

$Q\left(a\right)\cdot Q\left(b\right)=a_n^2\left[\left(a-r_1\right)\left(b-r_1\right)\right]\cdot _{....}\cdot \left[\left(a-r_k\right)\left(b-r_k\right)\right]$

Nesse produto, os fatores $\left(a-r_j\right)\left(b-r_j\right)$ serão negativos se, e somente se,$r_j\in]a,b[$.

Assim chegamos a conclusão que

• Se o produto P(a) . P(b) é positivo, então o produto Q(a) . Q(b) é positivo e, portanto, existe um número par de fatores $\left(a-r_j\right)\left(b-r_j\right)$ negativos no produto, ou não existe fator negativo nesse produto; assim, se P(a) e P(b) têm o mesmo sinal, então a equação P(x) = 0 tem o mesmo número par de raízes em ]a,b[ ou não tem raiz nesse intervalo;
• Se o produto P(a) . P(b) é negativo, então o produto Q(a) . Q(b) é negativo e, portanto, existe um número ímpar de fatores $\left(a-r_j\right)\left(b-r_j\right)$ negativos no produto, se P(a) e P(b) têm sinais contrários, então a equação P(x) = 0 tem o mesmo número ímpar de raízes em ]a,b[

Sendo assim podemos resolver o exercício

Entre x = -5 e x = -1 teremos uma raiz pois f(-5) . f(-1) < 0 e e entre f(-1) e f(-2) poderíamos ter um número par de raízes ou nenhuma raiz pois teríamos f(-1) . f(2) > 0. Como é uma função de 2° grau não há como ter mais duas raízes pois já existe uma raiz anterior, e portanto não haverá nenhuma raiz. A função portanto será sempre positiva entre x=-1 e x=2 consequentemente c será positivo.

Saiba mais sobre o Teorema de Bolzano:https://brainly.com.br/tarefa/3692074?source=archive

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