Question

Uma função de produção pode, com poucas variáveis, ajudar a definir os níveis de produção de uma empresa ou de uma nação. Sua forma geral é dada por:



​Sendo P(K,L) a produtividade, K o capital investido, L as horas de trabalho empregadas, a, x e y são parâmetros que dependem do problema dado ou da situação analisada. É comum que x+y seja igual a 1,0. Assim como as demais funções de duas ou mais variáveis, a produtividade marginal pode ser calculada pela derivada parcial da função em relação à variável de interesse, que neste caso, seriam K ou L. Admita que P(K,L) seja dado em milhares de reais (R$), K seja o capital investido, também em milhares de reais (R$) e L sejam as horas de trabalho.

Com base nessas informações e considerando a = 3 e x = 0,6, faça o que se pede:

a) Calcule a produtividade para o capital e o trabalho com um nível de capital de R$320.000,00 e 500h trabalhadas.
b) Calcule a produtividade marginal para o capital e o trabalho com um nível de capital de R$320.000,00 e 500h trabalhadas.
b) Explique qual destas variáveis possui maior impacto no aumento da produtividade.

Answer 1

A função dada é:

P(K,L) = a.K^x . L^y

a) Para calcular a produtividade, basta substituir os valores dados no enunciado, ou seja, a = 3, K = 320, L = 500, x = 0,6 e, consequentemente, y = 0,4:

P(320,500) = 3.320^0,6 . 500^0,4

P(320,500) = 95,55 . 12,01

P(320,500) = 1147,55

b) Para calcular a produtividade marginal, devemos derivar a função com respeito a K e a L, logo, aplicando a regra do produto:

Pk(K,L) = a.x.K^(x-1).L^y + a.K^x.0

Pk(K,L) = a.x.K^(x-1).L^y

Pl(K,L) = a.K^x . y.L^(y-1)

Substituindo os valores, temos:

Pk(320,500) = 3.0,6.320^(-0,4) . 500^0,4

Pk(320,500) = 0,18 . 12,01

Pk(320,500) = 2,1516

Pl(320,500) = 3.320^0,6 . 0,4.500^(-0,6)

Pl(320,500) = 95,55 . 0,01

Pl(320,500) = 0,92

c) Considerando que x = 0,6 e y = 0,4, o capital possui maior impacto já que seu expoente é maior.