Question

Uma forte chuva começa a cair formando uma goteira no teto. Uma primeira gota cai e 30 segundos depois vai uma segunda gota. A chuva se intensifica de tal forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a queda da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo entre as quedas de duas gotas consecutivase reduz-se a metade na medida em que a chuva piora. Se a situação assim se mantiver, em quanto tempo, aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a goteira se transformará em um fio contínuo de água?

Answer 1

Explicação passo-a-passo: Note que a sequência de tempos em que as gotas caem forma uma P.G (Progressão Geométrica) de razão q=0,5 pois os tempos vai diminuindo pela metade após a caída de cada gota, ou seja, se multiplicarmos 30 por 0,5 dará 15, 15 por 0,5 dará 7,5 e assim sucessivamente. Precisamos saber quando este intervalo de tempo será zero, pois quando o intervalo for zero significa que não há mais gotas e sim um fio de água. Porém, veja que se vc reduzir sempre um número pela metade, o resultado vai sempre diminuindo porém nunca zera. Dessa forma, note que estamos diante de uma P.G infinita. Assim, basta calcular a soma dos tempos infinitos que teremos. Para isso usaremos a fórmula da soma da P.G infinita que é:

                                                        $Sn=\dfrac{a_1}{1-q}$

Onde a1 é o primeiro termo da sequência dada e q é a razão. Sabemos que o primeiro termo é 30 e a razão é 0,5. Assim

$Sn=\dfrac{a_1}{1-q} =>Sn=\dfrac{30}{1-0,5} =>Sn=\frac{30}{0,5} =>Sn=60 segundos$

Ou seja, após 60 segundos, ou 1 minuto após a queda da primeira gota, as quedas de gotas virará um fio contínuo de água.