Uma formiga se desloca em espiral sobre um plano cartesiano, partindo da origem e indo de um ponto de coordenadas inteiras a outro, como mostra a figura, gastando um segundo para percorrer uma unidade de comprimento.
Após 3 minutos de deslocamento, sem nenhuma parada, a formiga estará no ponto:
A) (-5,-7)
B) (-5,7)
C) (7,5)
D) (7,-4)
E) (7,-5)
Soluções para a tarefa
... 1 + 1 ............. 2 s .............. (1, -1) ..... 4º
... 2 + 2 ............. 6 s .............. (-1, 1) ..... 2º
... 3 + 3 ........... 12 s .............. (2, -2) ..... 4º
... 4 + 4 ........... 20 s .............. (-2, 2) ..... 2º
... 5 + 5 ........... 30 s .............. (3, -3) ..... 4º
... 6 + 6 ........... 42 s .............. (-3, 3) ..... 2º
... 7 + 7 ........... 56 s .............. (4, -4) ..... 4º
... 8 + 8 ........... 72 s .............. (-4, 4) ..... 2º
... 9 + 9 ........... 90 s .............. (5, -5) ..... 4º
. 10 + 10 ........ 110 s .............. (-5, 5) ..... 2º
. 11 + 11 ........ 132 s .............. (6, -6) ..... 4º
. 12 + 12 ........ 156 s .............. (-6, 6) ..... 2º
. 13 + 13 ........ 182 s .............. (7, -7) ..... 4º
Note que após 182 s a formiga está no 4º quadrante em (7, -7), descendo.
2 s antes, isto é aos 180 s (3 min) ela está em (7, -5) ---> Alternativa E
Após 3 minutos de deslocamento, a formiga estará no ponto (7, -5).
Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:
- De acordo com a figura, vemos que os dois primeiros movimentos da formiga consistem em se deslocar uma unidade para a direita e uma unidade para baixo;
- Os dois próximos movimentos consistem em se deslocar duas unidades para a esquerda e dois para cima;
- Considerando cada par de movimento como um único, teremos uma PA de razão 2 e primeiro termo 2;
Com essas informações, temos que as distâncias percorridas pela formiga a cada movimento serão: (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...). Sabemos que a soma desses movimentos deve ser igual a 180 (pois 180 segundos = 3 minutos), então:
180 = (2 + an).n/2
360 = (2 + 2 + (n-1).2).n
360 = (2 + 2n).n
2n² + 2n = 360
n² + n - 180 = 0
A raiz positiva dessa equação é aproximadamente igual a 13, logo, no 13° par de movimento, se passa 3 minutos, calculando o termo 13:
a13 = 2 + (13 - 1).2
a13 = 2 + 24
a13 = 26
A soma dos 13 primeiro termos:
S13 = (2 + 26).13/2
S13 = 182
Para movimentos ímpares, a formiga está descendo, logo, no 13° movimento ela estará descendo (no 4° quadrante). Note que cada par de movimentos resulta no acréscimo das coordenadas em 1, então no 13° movimento, ela estará na coordenada (7, -7), dois segundos antes, ela estaria 2 unidades acima, em (7, -5)
Resposta: E
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