Question

Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida a granel a um preço de $ 200 por unidade. Se o custo total de produção (em dólares) para x unidades for C(x)= 500000 + 80x + 0,003x2 e se a capacidade de produção da firma for de, no máximo, 30000 unidades em um tempo especificado, a quantidade de unidades de penicilina que deve ser fabricada e vendida naquele tempo para maximizar o lucro é de:

Answer 1

Como a receita total da venda de x unidades é R(x)= 200x , o lucro P(x) sobre x unidades será:
P(x)= R(x)-C(x) = 200x - (500.000+80x+0,003x²)
Como a capacidade de produção é de, no máximo, 30.000 unidades, x deve  estar no intervalo [0, 30.000]. 
dP/dx = 200 - (80+ 0,006x)= 120- 0,006x
Equacionando dP/dx= 0, obtemos:
120-0,006x = 0 ou x= 20.000
Como está no intervalo [0, 30.000], o lucro máximo deve ocerrer em um dos pontos
x=0 ; x=20.000 ou x=30.000
Se substituir esses valores em P(x), verificamos que o lucro máximo será quando 20.000 unidades forem fabricadas e vendidas no tempo especificado.