Question

Uma folha de papel retangular foi dobrada como mostra a figura. De acordo com as medidas, determine a área da região sombreada.

Answer 1

Olá!

Trata-se de um problema de semelhança entre triângulos:


Temos dois triângulos :
I )  Um com uma altura igual a 2cm;
II ) Outro com altura igual a 8cm
A base da folha é dita ter 10cm no total dela, certo?
Vamos chamar de x o pedacinho  menor da base, onde se encontra o triângulo menor de altura 2cm.
No triângulo de altura 8cm, vamos chamar de ( 10 - x) a sua base, ok?
Vou fazer um esboço da parte da folha para que você compreenda melhor:

                                                         Inicialmente
|-----------------------------------------------------10----------------------------------------------------------------|

                                                     Separamos para trabalhar
I------------x-----------|------------------------------10 - x---------------------------------------------------------|

Agora vamos fazer as semelhanças:
A altura do triângulo menor  =  base do menor    =>   Reescrevendo, temos:
A altura triângulo maior              base do maior           


=.  2   =     x          Vamos multiplicar em forma de X  =>
     8      10 - x

=>  2 . ( 10 -x )  =   8 . x     =>  abrindo os parênteses
=> 20  - 2x  = 8x                => passe o 2x para a direit
=> 20 =  8x  + 2x  =>
=> 20  =  10 x =>
==> x = 2

Então temos agora as medidas das bases dos triângulos:
i ) O de altura 2 cm têm como base 2cm;
II ) O de altura 8 cm têm por base  (10 - 2 = 8 ) 8 cm.

Logo os triângulos são  retângulos isósceles. Isso nos facilita pois podemos
 , e devemos , aplicar o Teorema de Pitágoras:

I )  Aplicando no menor :
       a² = b² + c²  =>  (onde a =b = 2cm)
=> a²  = 2² + 2² =>     a² = 4 + 4 =>        a² = 8    =>    a =2√2
II )  Aplicando no maior:
     a²  = b²  + c²  =>
=>a²  = 8²  + 8²  =>  a²  =  64 +  64  =>  a²  = 128  =>  a²  = √2^7  => a = 8√2

O triângulo sombreado também é retângulo, logo é a metade de um quadrilátero , então podemos fazer...
Área do triângulo pedido = base x altura      =  8√2  .  2√2  =  16 cm²
                                                              2                              2
Resposta : 16 cm².
Bons estudos!