Uma folha de papel quadrada ABCD com 20cm de lado foi dobrada de modo que o ponto B coincidisse com o ponto médio Q do lado CD ( BP = PQ ), como indicado na figura abaixo.
a) Mostre que o comprimento do segmento BP é igual a 12,5 cm ;
b) Mostre os triângulos QCP e RDQ são semelhantes;
c) Calcule o comprimento do segmento RD.
Soluções para a tarefa
a) Chamemos a medida CP de x. Assim, a medida BP pode ser representada por 20 - x.
Como PQ = BP, PQ também mede 20 - x. Assim, temos um triângulo retângulo no canto superior direito com as seguintes medidas:
a = 20 - x
b = 10
c = x
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
a² = b² + c²
(20 - x)² = 10² + x²
400 - 40x + x² = 100 + x²
x² - x² - 40x + 400 - 100 = 0
- 40x + 300 = 0
- 40x = - 300
40x = 300
x = 300/40
x = 7,5 cm
BP = 20 - x
BP = 20 - 7,5
BP = 12,5 m (está provado!)
b) Se virarmos o triângulo QCP sobre o triângulo RDQ, veremos que eles são semelhantes porque oângulo C é congruente a D (C = D = 90°) e os lados CQ e DQ têm a mesma medida.
Veja a figura abaixo.
c) Representarei a medida do segmento RD por y.
Como os triângulos QCP e RDQ são semelhantes, os seus lados correspondentes têm medidas proporcionais. Logo, temos:
y está para 10, assim como 10 está para x.
y / 10 = 10 / x
y / 10 = 10 / 7,5
7,5.y = 10.10
7,5y = 100
y = 100 / 7,5
y = 13,33
RD = 13,33 cm