Question

Uma fila de cinema tem 10 cadeiras, nas quais devem se sentar 7 adultos e 3 crianças. O número de maneiras que isso pode ser feito se quaisquer crianças não devem ficar em cadeiras contíguas é igual a

Answer 1

Olá!

Complementando a questão, temos as opções:
A) 1693440
B) 1753250
C) 1847540
D) 1942980
E) 2043870
_____________________________________________________________

Para determinar o número de maneiras que as pessoas podem sentar fazemos a conta da seguinte maneira:

número de pessoas = 10
quantidade de formas para sentarem: q

q = 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1

Se não houvesse nenhum restrição a resposta seria 10! = 3.628.8000
_____________________________________________________________

Entretanto, temos as restrições que nenhum criança pode sentar lado a lado.

As formas que as crianças podem se sentar lado a lado são:

1) todas juntas, da forma: CCCAAAAAAA
2) pelo menos duas juntas: CCAAAAAAAC
_____________________________________________________________

Quantidade de maneiras que as crianças podem se sentar todas juntas:

Existem 8 formas diferentes que elas podem se sentar:

Ex:
CCCAAAAAAA
ACCCAAAAAA
AACCCAAAAA
AAACCCAAAA
AAAACCCAAA
AAAAACCCAA
AAAAAACCCA
AAAAAAACCC

Mas ainda sim, podemos alterar cada uma das crianças 3 vezes.

Dessa forma, a quantidade de maneiras das crianças sentarem todas juntas são:

8! . 3! = 8.7.6.5.4.3.2.1 . 3.2.1 = 40.320 . 6 = 241.920
_____________________________________________________________

Agora, da mesma maneira fazemos o cálculo para que as crianças sentem-se 2 juntas e 1 separada:

São 9 maneiras de alocar as 2 crianças juntas:

Ex:
CCACAAAAAA
ACCACAAAAA
AACCACAAAA
AAACCACAAA
AAAACCACAA
AAAAACCACA
AAAAAACCAC
AAAAACACCA
AAAAAACACC

Mas, a 3ª criança não pode ocupar um lugar exatamente ao lado das 2 crianças juntas, pois esses valores já foram contatos anteriormente.

Existem 8 posições que a 3ª criança pode sentar.
Se mantivermos 1 criança fixa por vez (C1) e alternarmos a posição da 2ª (C2) e da 3ª criança (C3), logo sabemos que também existem 2 possibilidades.Então:

9! (total de formas de se sentarem 2 crianças juntas)
2.8! (8 posições que podem ser ocupadas por 2 crianças diferentes)
3! (posições da 1ª criança)

(9! - 2.8!).3!
[(9.8.7.6.5.4.3.2.1) - (2 . 8.7.6.5.4.3.2.1)] . (3.2.1)
[362.880 - (2 . 40.320)] . 6
(362.880 - 80640) . 6
282.240 . 6
1.693.440
_____________________________________________________________

Por fim, vamos excluir todas as possibilidades das crianças juntas

10!  - (8!.3!)  -  (9! - 2.8!).3!
3.628.8000 - 241.920 - 1.693.440
1.693.440

Resposta correta: (a) 1.693.440