Question

Uma fábrica tem como um de seus produtos embalagens cilíndricas. Sabendo que essas embalagens devem ter uma área de 200 cm2, quais são as dimensões para que a embalagem tenha um volume máximo?

Answer 1

Área do cilindro:

A = 2*Área da base * Área lateral

A = 2*(πr²) + 2πrh

200 = 2πr² + 2πrh

100 = πr(r + h)

100 / πr = r + h

h = 100 / πr - r (1)

O volume do cilindro é dado por:

V = πr²h (2)

Substituindo (1) em (2):

V = πr²(100 / πr - r)
V = 100r - πr³

Derivando:

dV/dr = 100 - 3πr²

Encontrando o raio máximo:

dV/dr = 0

100 - 3πr² = 0
3πr² = 100
r² = 100 / 3π

r ≈ 3,26 cm

Substituindo:

h = 100 / 3,26π - 3,26

h ≈ 6,5 cm