Uma fábrica de móveis domésticos possui um custo de produção dada pela função 3x² +2270x+ 4000 onde x é a quantidade de móveis vendidos e o preço de venda de um móvel custa R$ 2.500,00. Qual o lucro máximo da fábrica (aproximadamente)?
Soluções para a tarefa
Resposta: R$ 408,33
Explicação passo-a-passo:
Fórmula do Lucro:
L(x) = R(x) - C(x)
Onde,
R(x) = p•x = 2.500,00•x
C(x) = 3x² + 2.270x + 4.000
Calculando a função Lucro:
L(x) = R(x) - C(x)
L(x) = 2.500x - (3x² + 2.270x + 4.000)
L(x) = 2.500x - 3x² - 2.270x - 4.000
L(x) = -3x² + 230x - 4.000
Calculando a derivada da função L(x) teremos os pontos críticos da função:
L(x) = -3x² + 230x - 4.000
L'(x) = -6x + 230
Se considerarmos L'(x)=0 , teremos o ponto crítico da função L(x).
O ponto crítico irá nos mostrar onde a função é máxima ou mínimo. Portanto temos:
L'(x) = -6x + 230
0 = -6x + 230
6x = 230
x = 230 / 6
x = 38,33
Se "x" é a quantidade de móveis vendidos e temos o ponto crítico da função em x= 38,33 , isso significa que o lucro máximo será quando a fábrica vender 38,33 móveis.
Para calcular o Lucro máximo basta realizar a fórmula do vértice Xv ou substituir x=38,33 na função L(x) = -3x² + 230x - 4.000, veja:
a= -3 , b= 230 , c= 4.000
Xv = -[Δ / 4•a]
Xv = -[(b² -4•a•c) / 4•(-3)]
Xv = -[(230² -4•(-3)•(-4.000)) / -12]
Xv = -[(52.900 -48.000) / -12]
Xv = -[4.900 / -12]
Xv = -[-408,33]
Xv = 408,33
ou
L(x) = -3x² + 230x - 4.000
L(x) = -3•(38,33)² + 230•38,33 - 4.000
L(x) = -3•1.469,19 + 8.815,9 - 4.000
L(x) = -4.407,57 + 4.815,9
L(x) = 408,33
>>RESPOSTA: o lucro máximo da fábrica (aproximadamente) é de R$ 408,33
Bons estudos!