Uma fábrica de embalagens produz caixas de presente em papelão, a partir de placas quadradas de 1m x 1 m. As dimensões da caixa estão representadas na figura abaixo. A partir dessas informações, responda: a) Qual é a sentença que representa a área da placa ocupada (Ac), em função da medida x? b) Qual é a sentença que representa a área desperdiçada (Ad) da placa na confecção da caixa, em função da medida x? c) Qual é o domínio das funções Ac(x) e Ad(x)? d) Qual deve ser o valor de x para que o desperdício de material em cada placa seja mínimo? e) Qual é a área da caixa quando o desperdício for mínimo, em cm²?
Alguem me ajuda!!
Minhas respostas para :
A) APC = 8400+10x
b)Ad = 1600+10x
c)D f(Ac) = x E R /x>-840
DF (Ad)= x E R / X>-160
estão corretas?? as letras d e e eu não faço ideia!
Soluções para a tarefa
x deve ser de 40 centímetros para que o área desperdiçada seja mínima.
Anexei uma figura no final desta resolução com todas as variáveis que vamos trabalhar, para facilitar o entendimento.
a) A área ocupada pela caixa equivale a soma das regiões A, B, C, D e E da figura anexada. Logo, ela vale:
Ac = A + B + C + D + E = (100- x - 10)*(100 - 10 - 10) + x*(100 - 10 - 10) + 10*(120 - x) + 10*x + 10*x
Ac = 80*(90 - x) + 80x + 1200 - 10x + 20x
Ac = 7200 - 80x + 80x + 1200 + 10x = 8400 + 10x cm²
b) Já a área desperdiçada equivale a soma das regiões F, G, H e I. Ou seja:
Ad = F + G + H + I
Ad = 10*(100 - x - 10) + 10*(100- x - 10) + 10*10 + 10*10
Ad = 900 - 10x + 900 - 10x + 100 + 100 = 2000 - 20x cm²
c) Vamos olhar para a região C da figura. Nela, vemos que seu comprimento vertical é dado por 120 - x cm. Contudo, sabemos que o comprimento total da chapa é de 1 metro, ou seja, de 100 cm. Logo, esse valor da lateral deve ser de, no máximo, 100 cm. Como já existem duas áreas (H e I) nas extremidades, devemos considerar a lateral de C como 100 - 10 - 10 = 80 cm, no máximo. Portanto a relação é válida:
120 - x ≤ 80
120 - 80 ≤ x
x ≥ 40 cm
Portanto o domínio das funções é tal que x deve ser maior ou igual a 20 centímetros.
d) Temos que calcular o valor de x para que Ad seja o menor possível. Para tal, basta que x seja o menor valor possível, ou seja, 40 cm. Pois, a função Ad é uma reta decrescente.
e) Para x = 40 cm teremos Ac igual a:
Ac = 8400 + 10*40 = 8800 cm²
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