Question

Uma estudante tem 10 livros distintos sendo cinco de álgebra, três de Geometria e dois de trigonometria. De quantos modos podemos arrumar esses livros na estante, se desejamos que os livros de um mesmo assunto permaneçam juntos?

Answer 1

O enunciado pede as diferentes combinações para organizar a estante, de modo que os livros de mesmo assunto fiquem juntos.

Vamos analisar as informações que ele te oferece e ver o que precisamos fazer:
- Uma estudante tem 10 livros distintos.
- 5 desses livros são de álgebra.
- 3 desses livros são de geometria.
- 2 desses livros são de trigonometria.

Vamos usar a permutação nessa situação. O fato de todos os livros serem distintos quer dizer que não haverá nenhuma repetição, então, a permutação será simples.
- 5 dos livros são de álgebra e terão que ficar juntos, mas mesmo que fiquem juntos, eles podem ser organizados em qualquer ordem. Isso nos dá a primeira permutação: P₅
- 3 dos livros são de geometria e terão que ficar juntos, mas mesmo que fiquem juntos, eles podem ser organizados em qualquer ordem. Isso nos dá a segunda permutação: P₃
- 2 dos livros são de trigonometria e terão que ficar juntos, mas mesmo que fiquem juntos, eles podem ser organizados em qualquer ordem. Isso nos dá a terceira permutação: P₂
- A ordem dos assuntos também gera combinações diferentes. Veja, os livros podem ser organizados como "Álgebra - Trigonometria - Geometria", mas também podem ser organizados como "Trigonometria - Álgebra - Geometria". Isso nos dá uma quarta permutação, não dos livros, mas sim dos 3 assuntos: P₃.

Para saber as diferentes formas de arrumar esses livros na estante, basta multiplicar as quatro permutações: 
$P_5 \times P_3 \times P_2 \times P_3 = \\ 5! \times 3! \times 2! \times 3! = \\ 120 \times 6 \times 2 \times 6 = 8640$

Resposta: Se os livros do mesmo assunto tem de estar juntos, você pode organiza-los na estante de 8.640 formas diferentes.

Answer 2

Para você entender melhor, vamos supor que para cada matéria temos uma caixa imaginária que usaremos para manter os livros de mesma matéria juntos.

informações:

-10 livros
-5 de álgebra
-2 de trigonometria
-3 matérias

primeiro veremos de quantas formas podemos organizar os livros de cada matéria.

Álgebra:

podemos botar qualquer dos 5 livros de álgebra em primeiro lugar (temos 5 possibilidades de livros para botar primeiro), qualquer um dos 5 menos o que eu já botei em segundo, qualquer um dos 5 menos os dois que já botei; seguindo esse raciocínio encontramos: 5*4*3*2*1 (5!) possibilidades dos livros de álgebra se organizarem entre si na sua caixa.

Seguindo o mesmo raciocínio para geometria e trigonometria, temos 3! e 2!, respectivamente.

As "caixas", fazendo o mesmo cálculo, podem se organizar de 3! vezes formas diferentes entre si, com os os livros contidos podendo se organizar de 5!*3!*2! formas diferentes. Traduzindo temos: 5!*3!*2!*3!= 8640