Question

Uma esfera aumenta de volume de modo que seu raio aumenta à razão de 1,5 cm/s. Calcule a taxa de variação do volume da esfera em relação ao tempo, quando o raio for igual a 20 cm.

Answer 1

Em questões desse tipo, podemos seguir uma sequência que é a seguinte :

1) Identificar as variáveis.

2) Achar uma relação entre as variáveis.

3) Derivar em relação à variável de referência.

4) Substituir os valores conhecidos.

5) isolar o que se quer calcular.

A questão fala sobre o volume de uma esfera, e sabemos que o volume da esfera pode ser calculado pela seguinte forma :

$\fbox{\displaystyle V_{esfera} = \frac{4}{3}.\pi.R^3 }$

A questão fala sobre a taxa de variação em relação ao tempo, ou seja, vamos derivar em relação ao tempo

$\fbox{\displaystyle [V_{esfera}]' = [\frac{4}{3}.\pi.R^3 ]' }$

$\fbox{\displaystyle \frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}.\pi.3R^2.\frac{dR}{dt} \to \frac{dV}{dt} = 4.\pi.R^2.\frac{dR}{dt} }$

onde :

$\displaystyle \frac{dV}{dt}$ = derivada do volume em relação ao tempo.

$\displaystyle \frac{dR}{dt}$ = derivada do raio em relação ao tempo.

A questão pede a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja, $\displaystyle \frac{dV}{dt}$, quando :

$\fbox{\displaystyle R = 20cm }$

$\fbox{\displaystyle \frac{dV}{dt} = 1,5cm/s }$

vamos voltar na derivada do volume em relação ao tempo

$\fbox{\displaystyle \frac{dV}{dt} = 4.\pi.R^2.\frac{dR}{dt} }$

substituindo os respectivos valores :

$\fbox{\displaystyle \frac{dV}{dt} = 4.\pi.20^2.1,5 \to \frac{dV}{dt} = 6.\pi.400 }$

portanto, a taxa de variação do volume da esfera em relação ao tempo é :

$\fbox{\displaystyle \frac{dV}{dt} = 2400.\pi .cm^3/s }$

(centímetros cúbicos porque se trata de volume)