Question

Uma esfera A cuja massa é m e uma esfera B cuja massa é 5,4m se movimentam em rota de colisão com velocidade 3,7 m/s e 5,5 m/s. Sabendo que o coeficiente de restituição vale 0,97 qual a velocidade final da esfera B em m/s?

Answer 1

$\mathbf{ DADOS{:} }$

$V_A = - 3.7 \: m/s \\\\ V_B = 5.5 \: m/s \\\\ Massa \: de \: A = m \\\\ Massa \: de \: B = 5.4m \\\\\ K = 0.97$

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$\mathbf{OBS{:}}$ Para efeitos de cálculo, considerei a velocidade de A como negativa, dado que em rotas de colisão as velocidades possuem sentidos opostos.

Pelo princípio da conservação da quantidade de movimento, temos que a quantidade de movimento antes é igual à quantidade de movimento depois:

$Q_{ANTES} = Q_{DEPOIS} \\\\ m_AV_A + m_BV_B = m_AV_A' + m_BV_B' \\\\ -3.7m + 5.5*5.4m = mV_A' + 5.4mV_B' \\\\ -3.7m + 29.7m = mV_A' + 5.4mV_B' \\\\ \not m(-3.7+29.7) = \not m(V_A' + 5.4V_B') \\\\ V_A' + 5.4V_B' = 26$

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Esse é a nossa primeira equação, precisamos ir atrás da outra.
Para isso, é preciso lembrar que o coeficiente de restituição (K) é dado pela razão entre a velocidade relativa depois e a velocidade relativa antes:

${ V_B'-V_A' \over 5.5-(-3.7)} = K \\\\ {V_B'-V_A' \over 9.2}= 0.97 \\\\ V_B' - V_A' = 9.2*0.97 \\\\ V_B' - V_A' = 8.924$

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Resolva o sistema formado pelas duas equações:

$\begin{cases} V_A' + 5.4V_B' = 26 \\\\ V_B' - V_A' = 8.924 \end{cases}$

Somando-as:

$V_A' + 5.4V_B' + ( V_B' - V_A' ) = 26 + 8.924 \\\\ V_A' - V_A' + 5.4V_B' + V_B' = 34.924 \\\\ 6.4V_B' = 34.924 \\\\ \boxed{ V_B' \approx 5.45 \: m/s }$