Question

Uma escada está encostada em uma parede criando um ângulo de 75° em relação ao chão. Sabe-se
que a distância (horizontal) da base até a parede é de 3 metros. Desta forma, pede-se:
a) Qual é o comprimento da escada?
b) Qual é a altura da parede?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~3\sqrt6+3\sqrt2~|~b)~3\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos alguns conceitos de trigonometria.

Observe na imagem que a escada, ao encostar na parede e formar um ângulo de 75° em relação ao chão, forma também um triângulo retângulo.

Com isso, podemos utilizar as informações que nos foram dadas a fim de calcular o comprimento da escada e a altura da parede.

No primeiro caso, utilizaremos o cosseno do ângulo, visto que o comprimento da escada serve como hipotenusa do triângulo.

Logo, considerando o segmento $\over{CE}$ como comprimento da escada, teremos que

$\cos 75\º=\dfrac{3}{\overline{CE}}$

Por soma dos arcos, podemos encontrar uma expressão numérica para $\cos 75\º$, visto que $75\º = 30\º+45\º$, ângulos notáveis na tabela de senos, cossenos e tangentes.

Lembre-se que  $\cos(x+y)=\cos x\cdot\cos y - \sin x\cdot\sin y$

Substituindo os valores acima, teremos

$\cos75\º=\cos30\º\cdot\cos45\º-\sin30\º\cdot\sin45\º$

De acordo com a tabela de ângulos notáveis, $\cos30\º=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin30\º=\dfrac{1}{2}$ e  $\cos45\º=\sin45\º=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Dessa forma:

$\cos75\º=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Multiplique os valores

$\cos75\º=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Substitua este valor na fórmula que utilizamos anteriormente

$\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\dfrac{3}{\overline{CE}}$

Multiplicando os valores cruzado, teremos que

${\overline{CE}}=\dfrac{3\cdot4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$

Racionalize o denominador, multiplicando o numerador e o denominador por $\sqrt{6}+\sqrt{2}$, lembrando que $(a + b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$

${\overline{CE}}=\dfrac{12\cdot(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{6-2}\\\\\\ {\overline{CE}}=\dfrac{12(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}\\\\\\ {\overline{CE}}=3\cdot(\sqrt{6}+\sqrt{2})$

O valor pode ser expresso como aproximação (como visto na imagem):

${\overline{CE}}\approx 11.59$

Este é o comprimento da escada.

Para calcularmos a altura, podemos utilizar o teorema de Pitágoras, que delata como "a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa". Teríamos que:

${\overline{AP}}^2+3^2=(3\cdot(\sqrt{6}+\sqrt{2}))^2$, na qual $\overline{AP}$ é a medida da altura da parede.

Calcule as potências, sabendo que $(a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b + b^2$

$\overline{AP}^2+9=9\cdot(6+2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}}+2)$

Multiplique e some os valores

$\overline{AP}^2+9=9\cdot(8+2\cdot\sqrt{12})$

Sabendo que $12=2^2\cdot3$, teremos

$\overline{AP}^2+9=9\cdot(8+2\cdot2\sqrt{3})\\\\\\ \overline{AP}^2+9=9\cdot(8+4\sqrt{3})$

Multiplique os valores, efetuando a propriedade distributiva da multiplicação

$\overline{AP}^2+9=72+36\sqrt{3}$

Subtraia 9 em ambos os lados da equação

$\overline{AP}^2=63+36\sqrt{3}$

Retire a raiz quadrada

$\overline{AP}=\sqrt{63+36\sqrt{3}}$

Podemos simplificar a raiz por um fator 9

$\overline{AP}=3\sqrt{7+4\sqrt{3}}$.

O valor pode ser expresso como aproximação (como visto na imagem):

$\overline{AP}\approx11.19$

Esta é a medida da altura da parede.