Question

Uma equipe de engenharia, na qual você trabalha, necessita conhecer a área de um determinado terreno de quatro lados iguais com quatro ângulos iguais, no qual duas extremidades opostas são os pontos de intersecção da circunferência
(x - 1)² + y² = 4 com a reta y = x + 1.
Determine a área (km²) do terreno. Apresente todos os seus cálculos e considerações.

Answer 1

A área do terreno é de 4 km²

Para encontrarmos os pontos de intersecção da circunferência e a reta, temos que resolvermos o sistema de equações formado pela equação geral da reta e pela equação reduzida da circunferência.

equação geral da reta

y = x + 1

y - x - 1 = 0

equação reduzida da circunferência

(x - 1)² + y² = 4

{- x + y - 1 = 0

{(x - 1)² + y² = 4

Isolamos a variável y da primeira equação.

y = 1 + x

Substituímos na segunda equação.

(x - 1)² + (1 + x)² = 4

(x² - 2x + 1) + (1 + 2x + x²) = 4

x² + x² - 2x + 2x + 1 + 1 = 4

2x² + 2 = 4

2x² = 4 - 2

2x² = 2

x² = 2/2

x² = 1

x = ± √1

x = ± 1

Para x = 1,

y = 1 + x

y = 1 + 1

y = 2

Para x = - 1,

y = 1 - 1

y = 0

Então, os pontos de intersecção são: (1, 2) e (- 1, 0).

Como esses pontos estão nas duas extremidades opostas, basta calcularmos a distância entre esses pontos para obtermos a medida da diagonal do quadrado.

d = √(- 1 - 1)² + (0 - 2)²

d = √(- 2)² + (-2)²

d = √4 + 4

d = √8

A medida da diagonal do quadrado é dada por:

d = a√2

√8 = a√2

a = √8

     √2

a = 2√2.√2

       √2.√2

a = 2√4

      √4

a = 2

Assim, a área do quadrado é:

A = a²

A = 2²

A = 4 km²