Question

Uma empresa vendia, por mês, 200 unidades de certo produto ao preço de R$ 40,00 a unidade. A empresa passou a conceder desconto na venda desse produto e verificou–se que a cada real de desconto concedido por unidade do produto implicava na venda de 10 unidades a mais por mês. Para obter o faturamento máximo em um mês, o valor do desconto, por unidade do produto, deve ser igual a
a) R$ 5,00
b)R$ 10,00.
c)R$ 12,00.
d)R$ 15,00.
e)R$ 20,00

Answer 1

Seja x o valor do desconto em reais. A cada desconto de x reais no preço unitário a quantidade vendida aumenta em 10x unidades.

Como o faturamento é o preço unitário vezes a quantidade vendida, podemos escrever a função f(x) que fornece o faturamento em função do desconto:

     $\mathsf{f(x)=(40-x)\cdot (200+10x)}\\\\ \mathsf{f(x)=-(x-40)\cdot (x+20)\cdot 10}\\\\ \mathsf{f(x)=-10\cdot (x-40)\cdot (x+20)}$


A função acima é uma função do 2º grau em sua forma fatorada. As raízes da função são

     $\begin{array}{rcl} \mathsf{x_1-40=0}&\quad\mathsf{e}\quad&\mathsf{x_2+20=0}\\\\ \mathsf{x_1=40}&\quad\mathsf{e}\quad&\mathsf{x_2=-20} \end{array}$


O valor do desconto para o faturamento máximo é o x do vértice da função acima. Podemos obter o x do vértice fazendo a média aritmética das raízes:

     $\mathsf{x_V=\dfrac{x_1+x_2}{2}}\\\\\\ \mathsf{x_V=\dfrac{40+(-20)}{2}}\\\\\\ \mathsf{x_V=\dfrac{40-20}{2}}\\\\\\ \mathsf{x_V=\dfrac{20}{2}}$

     $\begin{array}{lcl} \mathsf{x_V=10}&\quad\longleftarrow\quad&\mathsf{valor~do~desconto~(em~reais)~para}\\ &&\mathsf{faturamento~m\acute{a}ximo.} \end{array}$


Resposta:  alternativa  b)  R$ 10,00.


Bons estudos! :-)