Question

Uma empresa toma R$ 20.000,00 emprestados por 5 anos a 22% a.a. capitalizados semestralmente. Passados dois anos, a empresa resgata a dívida com desconto real de 20% a.a. capitalizados trimestralmente. Quanto pagou?

Answer 1

Estamos perante uma questão de equivalência de capitais

..note que tem o Valor Inicial da dívida (momento zero) ..e tem de calcular o seu Valor Nominal (valor no final do prazo) ..ou seja tem de calcular o seu valor após a 10 períodos de capitalização semestral

..calculado este Valor Nominal ..vai ter de "atualizar" esse valor 3 anos (para trás) ..ou seja 12 ciclos de atualização dado que a taxa de desconto é diferente e o período da taxa também é diferente

Resolvendo:

Cálculo do Valor Nominal (Valor Futuro) da divida:

VF = VI . (1 + i)ⁿ

Onde

VF = Valor Futuro, neste caso a determinar

VI = Valor Inicial, neste caso 20000

i = Taxa EFETIVA de capitalização, neste caso i = 22/2 = 11% ..ou 0,11

n = Prazo da aplicação, expresso em períodos da taxa, como 5 anos = 10 semestres, neste caso n = 10

 VF = VI . (1 + i)ⁿ

VF = 20000 . (1 + 0,11)¹⁰

VF = 20000 . (1,11)¹⁰

VF = 20000 . (2,839420986)

VF =  56788,41972  ...ou R$56.788,42 (valor aproximado)


Agora vamos atualizar este valor ...3 anos para trás ..ou seja vamos calcular o valor deste capital no momento "-12" ..note que a taxa atualização tem ciclos trimestrais ..logo 3 anos = 12 trimestres

Assim temos Valor Atual da divida será dado por:

VA = VF . (1 + i)⁻ⁿ

Onde

VA = Valor Atual, neste caso a determinar

VF = Valor Futuro (Nominal), neste caso 56788,41972

i = Taxa EFETIVA de atualização, neste caso i = 20/4 = 5%

n = Prazo de atualização, expresso em períodos da taxa ..como 3 anos = 12 trimestres n = 12

VA = VF . (1 + i)⁻ⁿ

VA =  56788,41972 . (1 + 0,05)⁻¹²

VA =  56788,41972 . (1,05)⁻¹²

VA =  56788,41972 / (1,05)¹²

VA =  56788,41972 / (1,795856326)

VA =  31621,91702 ..R$31.621,92 (valor aproximado)



Espero ter ajudado