Question

Uma empresa tem acompanhado a resposta do mercado para
diversas quantidades oferecidas de um produto, e chegou à conclusão de que o preço evolui com a
quantidade oferecida, segundo o modelo:
p = 100 – 0,2q com 200 < q< 300. Que quantidade deverá ser oferecida ao mercado para que a receita seja
máxima?
Obs: Receita = preço x quantidade de produtos, ou seja R = p.q)

Answer 1

Resposta:

$q$ = 250

Explicação passo-a-passo:

A questão informa que:

$R = p.q$ e

$p = 100 - 0,2q$

Onde:

$R$ = receita

$p$ = preço

$q$ = quantidade

Se substituirmos $p = 100 - 0,2q$ em $R = p.q$, teremos:

$R = (100 - 0,2q).q\\\\R = 100q - 0,2q^{2}$

$R = -0,2q^{2} + 100q$

a qual é uma função do segundo grau, onde:

$a = -0,2\\b = 100\\c = 0$

Essa equação possui  gráfico em forma de parábola:

y^         .. --> Vértice

 |       .     .

 |     .         .

 |   .             .

 |  .               .

--------------------> x

O vértice possui os pontos ($x_{v}, y_{v}$) como coordenadas.

O valor máximo da receita equivale ao valor de $y_{v}$, o qual é calculado assim:

$y_{v} = -\frac{D}{4a}$, onde

$D = b^{2} - 4ac$

Vamos calcular o valor máximo da receita:

$D = b^{2} - 4ac\\D = 100^{2} - 4(-0,2).0\\D = 100^{2}\\D = 10000$

$y_{v} = -\frac{D}{4a}\\\\y_{v} = -\frac{10000}{4.(-0,2)}\\\\y_{v} = -\frac{10000}{-0,8}\\\\y_{v} = \frac{10000}{0,8}\\\\y_{v} = 12500$

Com o valor máximo da receita, podemos calcular a  quantidade de produtos:

$R = -0,2q^{2} + 100q\\\\12500 = -0,2q^{2} + 100q\\\\0 = -0,2q^{2} + 100q - 12500\\\\-0,2q^{2} + 100q - 12500 = 0$

A quantidade de produtos $q$ pode ser calculada através da fórmula de Baskara:

$q = \frac{-b +- \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\\\\q = \frac{-100 +- \sqrt{100^{2} - 4(-0,2)(-12500)}}{2(-0,2)}\\\\q = \frac{-100 +- \sqrt{10000 - 10000}}{-0,4}\\\\q = \frac{-100 +- \sqrt{0}}{-0,4}\\\\q = \frac{-100}{-0,4}\\\\q = 250$

Resposta: Deve ser oferecida a quantidade de 250 unidades do produto para que a receita seja máxima.